Trojuholník 7 14 15

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 7
b = 14
c = 15

Obsah trojuholníka: S = 48,74442304278
Obvod trojuholníka: o = 36
Semiperimeter (poloobvod): s = 18

Uhol ∠ A = α = 27,66604498993° = 27°39'38″ = 0,48327659233 rad
Uhol ∠ B = β = 68,19662520106° = 68°11'47″ = 1,19902491351 rad
Uhol ∠ C = γ = 84,14332980901° = 84°8'36″ = 1,46985775952 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 13,92769229794
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 6,96334614897
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 6,49992307237

Ťažnica: t_a = 14,08801278403
Ťažnica: t_b = 9,38108315196
Ťažnica: t_c = 8,1399410298

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,70880128015
Polomer opísanej kružnice: R = 7,53993538225

Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[2,6; 6,49992307237]
Ťažisko: T[5,86766666667; 2,16664102412]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; 0,76993218186]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 2,70880128015]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 152,34395501007° = 152°20'22″ = 0,48327659233 rad
∠ B' = β' = 111,80437479894° = 111°48'13″ = 1,19902491351 rad
∠ C' = γ' = 95,85767019099° = 95°51'24″ = 1,46985775952 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 7 b = 14 c = 15

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 7 + 14 + 15 = 36

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 6}{2} = 18

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 18 (18 - 7) (18 - 14) (18 - 15) S = 2376 = 48, 74

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 8 , 7 4}{7} = 13, 93 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 8 , 7 4}{1 4} = 6, 96 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 8 , 7 4}{1 5} = 6, 5

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 1 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 1 5}) = 27 ° 3 9^{'} 38 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 5}) = 68 ° 1 1^{'} 47 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 27 ° 3 9^{'} 38 " - 68 ° 1 1^{'} 47 " = 84 ° 8^{'} 36 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 8 , 7 4}{1 8} = 2, 71

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 1 4 \cdot 1 5}{4 \cdot 2 , 7 0 8 \cdot 1 8} = 7, 54

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 14, 08 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 9, 381 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 8, 139

Vypočítať ďaľší trojuholník