Trojuholník 7 17 18

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 7
b = 17
c = 18

Obsah trojuholníka: S = 59,39769696197
Obvod trojuholníka: o = 42
Semiperimeter (poloobvod): s = 21

Uhol ∠ A = α = 22,84435073179° = 22°50'37″ = 0,39986944154 rad
Uhol ∠ B = β = 70,52987793655° = 70°31'44″ = 1,23109594173 rad
Uhol ∠ C = γ = 86,62877133166° = 86°37'40″ = 1,51219388208 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 16,97105627485
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 6,98878787788
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 6.65996632911

Ťažnica: t_a = 17,15437167984
Ťažnica: t_b = 10,68987791632
Ťažnica: t_c = 9,38108315196

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,82884271247
Polomer opísanej kružnice: R = 9,01656114601

Súradnice vrcholov: A[18; 0] B[0; 0] C[2,33333333333; 6.65996632911]
Ťažisko: T[6,77877777778; 2.21998877637]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9; 0,53303300859]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 2,82884271247]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 157,15664926821° = 157°9'23″ = 0,39986944154 rad
∠ B' = β' = 109,47112206345° = 109°28'16″ = 1,23109594173 rad
∠ C' = γ' = 93,37222866834° = 93°22'20″ = 1,51219388208 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 7 b = 17 c = 18

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 7 + 17 + 18 = 42

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 2}{2} = 21

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 21 (21 - 7) (21 - 17) (21 - 18) S = 3528 = 59, 4

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 9 , 4}{7} = 16, 97 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 9 , 4}{1 7} = 6, 99 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 9 , 4}{1 8} = 6, 6

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 7 ^{2} + 1 8 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 1 7 \cdot 1 8}) = 22 ° 5 0^{'} 37 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 8 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 8}) = 70 ° 3 1^{'} 44 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 22 ° 5 0^{'} 37 " - 70 ° 3 1^{'} 44 " = 86 ° 3 7^{'} 40 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 9 , 4}{2 1} = 2, 83

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 1 7 \cdot 1 8}{4 \cdot 2 , 8 2 8 \cdot 2 1} = 9, 02

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 17, 154 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 10, 689 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 9, 381

Vypočítať ďaľší trojuholník