Trojuholník 7 17 20
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 7
b = 17
c = 20
Obsah trojuholníka: S = 57,44656264654
Obvod trojuholníka: o = 44
Semiperimeter (poloobvod): s = 22
Uhol ∠ A = α = 19,75499227956° = 19°45' = 0,34547011798 rad
Uhol ∠ B = β = 55,1550095421° = 55°9' = 0,96325507479 rad
Uhol ∠ C = γ = 105.10999817834° = 105°6' = 1,83443407259 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 16,4133036133
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 6,75883089959
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 5,74545626465
Ťažnica: ta = 18,22877261336
Ťažnica: tb = 12,33989626793
Ťažnica: tc = 8,30766238629
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,61111648393
Polomer opísanej kružnice: R = 10,35876205294
Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[4; 5,74545626465]
Ťažisko: T[8; 1,91548542155]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; -2,69882036673]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5; 2,61111648393]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 160,25500772044° = 160°15' = 0,34547011798 rad
∠ B' = β' = 124,85499045791° = 124°51' = 0,96325507479 rad
∠ C' = γ' = 74.99000182166° = 74°54' = 1,83443407259 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=17 c=20
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7+17+20=44
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=244=22
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=22(22−7)(22−17)(22−20) S=3300=57,45
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 57,45=16,41 vb=b2 S=172⋅ 57,45=6,76 vc=c2 S=202⋅ 57,45=5,74
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 17⋅ 20172+202−72)=19°45′ b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 2072+202−172)=55°9′ γ=180°−α−β=180°−19°45′−55°9′=105°6′
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2257,45=2,61
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,611⋅ 227⋅ 17⋅ 20=10,36
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 172+2⋅ 202−72=18,228 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 202+2⋅ 72−172=12,339 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 172−202=8,307
Vypočítať ďaľší trojuholník