Trojuholník 7 20 20

Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Strany: a = 7 b = 20 c = 20

Obsah trojuholníka: S = 68,92197903363
Obvod trojuholníka: o = 47
Semiperimeter (poloobvod): s = 23,5

Uhol ∠ A = α = 20,15773162156° = 20°9'26″ = 0,35218115363 rad
Uhol ∠ B = β = 79,92113418922° = 79°55'17″ = 1,39548905586 rad
Uhol ∠ C = γ = 79,92113418922° = 79°55'17″ = 1,39548905586 rad

Výška trojuholníka: v_a = 19,69113686675
Výška trojuholníka: v_b = 6,89219790336
Výška trojuholníka: v_c = 6,89219790336

Ťažnica: t_a = 19,69113686675
Ťažnica: t_b = 11,15879568022
Ťažnica: t_c = 11,15879568022

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,93327570356
Polomer opísanej kružnice: R = 10,15767343224

Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[1,225; 6,89219790336]
Ťažisko: T[7,075; 2,29773263445]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; 1,77774285064]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 2,93327570356]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 159,84326837844° = 159°50'34″ = 0,35218115363 rad
∠ B' = β' = 100,07986581078° = 100°4'43″ = 1,39548905586 rad
∠ C' = γ' = 100,07986581078° = 100°4'43″ = 1,39548905586 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 7 b = 20 c = 20

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 7 + 20 + 20 = 47

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 7}{2} = 23, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 23, 5 (23, 5 - 7) (23, 5 - 20) (23, 5 - 20) S = 4749, 94 = 68, 92

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 8 , 9 2}{7} = 19, 69 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 8 , 9 2}{2 0} = 6, 89 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 8 , 9 2}{2 0} = 6, 89

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 0 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 0}) = 20 ° 9^{'} 26 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 2 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 2 0}) = 79 ° 5 5^{'} 17 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 20 ° 9^{'} 26 " - 79 ° 5 5^{'} 17 " = 79 ° 5 5^{'} 17 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 8 , 9 2}{2 3 , 5} = 2, 93

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 2 0 \cdot 2 0}{4 \cdot 2 , 9 3 3 \cdot 2 3 , 5} = 10, 16

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 19, 691 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 11, 158 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 11, 158

Vypočítať ďaľší trojuholník