Trojuholník 7 20 22

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 7 b = 20 c = 22

Obsah trojuholníka: S = 69,45109719154
Obvod trojuholníka: o = 49
Semiperimeter (poloobvod): s = 24,5

Uhol ∠ A = α = 18,40222461959° = 18°24'8″ = 0,32111797859 rad
Uhol ∠ B = β = 64,41769980226° = 64°25'1″ = 1,12442887097 rad
Uhol ∠ C = γ = 97,18107557815° = 97°10'51″ = 1,6966124158 rad

Výška trojuholníka: v_a = 19,8433134833
Výška trojuholníka: v_b = 6,94550971915
Výška trojuholníka: v_c = 6,31437247196

Ťažnica: t_a = 20,73304124416
Ťažnica: t_b = 12,90334879006
Ťažnica: t_c = 10,17334949747

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,83547335476
Polomer opísanej kružnice: R = 11,08769578749

Súradnice vrcholov: A[22; 0] B[0; 0] C[3,02327272727; 6,31437247196]
Ťažisko: T[8,34109090909; 2,10545749065]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11; -1,38658697344]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,5; 2,83547335476]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 161,59877538041° = 161°35'52″ = 0,32111797859 rad
∠ B' = β' = 115,58330019774° = 115°34'59″ = 1,12442887097 rad
∠ C' = γ' = 82,81992442185° = 82°49'9″ = 1,6966124158 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 7 b = 20 c = 22

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 7 + 20 + 22 = 49

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 9}{2} = 24, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 24, 5 (24, 5 - 7) (24, 5 - 20) (24, 5 - 22) S = 4823, 44 = 69, 45

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 9 , 4 5}{7} = 19, 84 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 9 , 4 5}{2 0} = 6, 95 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 9 , 4 5}{2 2} = 6, 31

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 2 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 2}) = 18 ° 2 4^{'} 8 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 2 2 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 2 2}) = 64 ° 2 5^{'} 1 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 18 ° 2 4^{'} 8 " - 64 ° 2 5^{'} 1 " = 97 ° 1 0^{'} 51 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 9 , 4 5}{2 4 , 5} = 2, 83

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 2 0 \cdot 2 2}{4 \cdot 2 , 8 3 5 \cdot 2 4 , 5} = 11, 09

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 20, 73 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 12, 903 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 10, 173

Vypočítať ďaľší trojuholník