Trojuholník 7 20 24

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 7
b = 20
c = 24

Obsah trojuholníka: S = 62,38553949254
Obvod trojuholníka: o = 51
Semiperimeter (poloobvod): s = 25,5

Uhol ∠ A = α = 15,06664512874° = 15°3'59″ = 0,26329591816 rad
Uhol ∠ B = β = 47,9660493671° = 47°57'38″ = 0,83770685254 rad
Uhol ∠ C = γ = 116,97330550416° = 116°58'23″ = 2,04215649466 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 17,82443985501
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 6,23985394925
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 5,19987829105

Ťažnica: t_a = 21,81216941112
Ťažnica: t_b = 14,57773797371
Ťažnica: t_c = 8,97221792225

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,44664860755
Polomer opísanej kružnice: R = 13,46546899487

Súradnice vrcholov: A[24; 0] B[0; 0] C[4,68875; 5,19987829105]
Ťažisko: T[9,56325; 1,73329276368]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12; -6,10771986553]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 2,44664860755]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 164,93435487126° = 164°56'1″ = 0,26329591816 rad
∠ B' = β' = 132,0439506329° = 132°2'22″ = 0,83770685254 rad
∠ C' = γ' = 63,02769449584° = 63°1'37″ = 2,04215649466 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 7 b = 20 c = 24

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 7 + 20 + 24 = 51

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 1}{2} = 25, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 25, 5 (25, 5 - 7) (25, 5 - 20) (25, 5 - 24) S = 3891, 94 = 62, 39

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 2 , 3 9}{7} = 17, 82 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 2 , 3 9}{2 0} = 6, 24 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 2 , 3 9}{2 4} = 5, 2

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 4 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 4}) = 15 ° 3^{'} 59 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 2 4 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 2 4}) = 47 ° 5 7^{'} 38 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 15 ° 3^{'} 59 " - 47 ° 5 7^{'} 38 " = 116 ° 5 8^{'} 23 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 2 , 3 9}{2 5 , 5} = 2, 45

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 2 0 \cdot 2 4}{4 \cdot 2 , 4 4 6 \cdot 2 5 , 5} = 13, 46

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 21, 812 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 14, 577 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 8, 972

Vypočítať ďaľší trojuholník