Trojuholník 7 22 25

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 7
b = 22
c = 25

Obsah trojuholníka: S = 73,48546922835
Obvod trojuholníka: o = 54
Semiperimeter (poloobvod): s = 27

Uhol ∠ A = α = 15,49987327566° = 15°29'55″ = 0,27105039165 rad
Uhol ∠ B = β = 57,12216504356° = 57°7'18″ = 0,99769608743 rad
Uhol ∠ C = γ = 107,38796168078° = 107°22'47″ = 1,87441278628 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 20,99656263667
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 6,68804265712
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 5,87987753827

Ťažnica: t_a = 23,28662620444
Ťažnica: t_b = 14,69769384567
Ťažnica: t_c = 10,5

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,72216552698
Polomer opísanej kružnice: R = 13,09879659857

Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[3,8; 5,87987753827]
Ťažisko: T[9,6; 1,96595917942]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; -3,91223794503]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5; 2,72216552698]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 164,50112672434° = 164°30'5″ = 0,27105039165 rad
∠ B' = β' = 122,87883495644° = 122°52'42″ = 0,99769608743 rad
∠ C' = γ' = 72,62203831922° = 72°37'13″ = 1,87441278628 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 7 b = 22 c = 25

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 7 + 22 + 25 = 54

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 4}{2} = 27

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 27 (27 - 7) (27 - 22) (27 - 25) S = 5400 = 73, 48

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 3 , 4 8}{7} = 21 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 3 , 4 8}{2 2} = 6, 68 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 3 , 4 8}{2 5} = 5, 88

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 2 ^{2} + 2 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 2 2 \cdot 2 5}) = 15 ° 2 9^{'} 55 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 2 5 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 2 5}) = 57 ° 7^{'} 18 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 15 ° 2 9^{'} 55 " - 57 ° 7^{'} 18 " = 107 ° 2 2^{'} 47 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 3 , 4 8}{2 7} = 2, 72

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 2 2 \cdot 2 5}{4 \cdot 2 , 7 2 2 \cdot 2 7} = 13, 1

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 23, 286 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 14, 697 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 10, 5

Vypočítať ďaľší trojuholník