Trojuholník 7 22 26

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 7
b = 22
c = 26

Obsah trojuholníka: S = 68,1987782222
Obvod trojuholníka: o = 55
Semiperimeter (poloobvod): s = 27,5

Uhol ∠ A = α = 13,79552993996° = 13°47'43″ = 0,24107733958 rad
Uhol ∠ B = β = 48,54106961042° = 48°32'27″ = 0,84771949682 rad
Uhol ∠ C = γ = 117,66440044962° = 117°39'50″ = 2,05436242895 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 19,48550806349
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 6.21997983838
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 5,24659832478

Ťažnica: t_a = 23,82875051149
Ťažnica: t_b = 15,54402702679
Ťažnica: t_c = 9,87442088291

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,48799193535
Polomer opísanej kružnice: R = 14,67878966615

Súradnice vrcholov: A[26; 0] B[0; 0] C[4,63546153846; 5,24659832478]
Ťažisko: T[10,21215384615; 1,74986610826]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[13; -6,81547377357]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 2,48799193535]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 166,20547006004° = 166°12'17″ = 0,24107733958 rad
∠ B' = β' = 131,45993038958° = 131°27'33″ = 0,84771949682 rad
∠ C' = γ' = 62,33659955038° = 62°20'10″ = 2,05436242895 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 7 b = 22 c = 26

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 7 + 22 + 26 = 55

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 5}{2} = 27, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 27, 5 (27, 5 - 7) (27, 5 - 22) (27, 5 - 26) S = 4650, 94 = 68, 2

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 8 , 2}{7} = 19, 49 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 8 , 2}{2 2} = 6, 2 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 8 , 2}{2 6} = 5, 25

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 2 ^{2} + 2 6 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 2 2 \cdot 2 6}) = 13 ° 4 7^{'} 43 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 2 6 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 2 6}) = 48 ° 3 2^{'} 27 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 13 ° 4 7^{'} 43 " - 48 ° 3 2^{'} 27 " = 117 ° 3 9^{'} 50 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 8 , 2}{2 7 , 5} = 2, 48

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 2 2 \cdot 2 6}{4 \cdot 2 , 4 8 \cdot 2 7 , 5} = 14, 68

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 2 6 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 23, 828 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 6 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 15, 54 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2} = 9, 874

Vypočítať ďaľší trojuholník