Trojuholník 7 24 30

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 7
b = 24
c = 30

Obsah trojuholníka: S = 48,26442466014
Obvod trojuholníka: o = 61
Semiperimeter (poloobvod): s = 30,5

Uhol ∠ A = α = 7,70546928237° = 7°42'17″ = 0,13444722576 rad
Uhol ∠ B = β = 27,36551372914° = 27°21'55″ = 0,4787611746 rad
Uhol ∠ C = γ = 144,93301698849° = 144°55'49″ = 2,532950865 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 13,79897847433
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 4,02220205501
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 3,21876164401

Ťažnica: t_a = 26,9439747586
Ťažnica: t_b = 18,18796589627
Ťažnica: t_c = 9,35441434669

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,58224343148
Polomer opísanej kružnice: R = 26,10662813309

Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[6,21766666667; 3,21876164401]
Ťažisko: T[12,07222222222; 1,07325388134]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; -21,36767481131]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 1,58224343148]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 172,29553071763° = 172°17'43″ = 0,13444722576 rad
∠ B' = β' = 152,63548627086° = 152°38'5″ = 0,4787611746 rad
∠ C' = γ' = 35,07698301151° = 35°4'11″ = 2,532950865 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 7 b = 24 c = 30

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 7 + 24 + 30 = 61

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 1}{2} = 30, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 30, 5 (30, 5 - 7) (30, 5 - 24) (30, 5 - 30) S = 2329, 44 = 48, 26

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 8 , 2 6}{7} = 13, 79 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 8 , 2 6}{2 4} = 4, 02 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 8 , 2 6}{3 0} = 3, 22

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 4 ^{2} + 3 0 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 2 4 \cdot 3 0}) = 7 ° 4 2^{'} 17 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 3 0}) = 27 ° 2 1^{'} 55 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 7 ° 4 2^{'} 17 " - 27 ° 2 1^{'} 55 " = 144 ° 5 5^{'} 49 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 8 , 2 6}{3 0 , 5} = 1, 58

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 2 4 \cdot 3 0}{4 \cdot 1 , 5 8 2 \cdot 3 0 , 5} = 26, 11

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 26, 94 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 18, 18 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 9, 354

Vypočítať ďaľší trojuholník