Trojuholník 70 50 80

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 70
b = 50
c = 80

Obsah trojuholníka: S = 1732,05108075689
Obvod trojuholníka: o = 200
Semiperimeter (poloobvod): s = 100

Uhol ∠ A = α = 60° = 1,04771975512 rad
Uhol ∠ B = β = 38,21332107017° = 38°12'48″ = 0,66769463445 rad
Uhol ∠ C = γ = 81,78767892983° = 81°47'12″ = 1,42774487579 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 49,48771659305
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 69,28220323028
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 43,30112701892

Ťažnica: t_a = 56,7899083458
Ťažnica: t_b = 70,88772343938
Ťažnica: t_c = 45,82657569496

Polomer vpísanej kružnice: r = 17,32105080757
Polomer opísanej kružnice: R = 40,41545188433

Súradnice vrcholov: A[80; 0] B[0; 0] C[55; 43,30112701892]
Ťažisko: T[45; 14,43437567297]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[40; 5,77435026919]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[50; 17,32105080757]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 120° = 1,04771975512 rad
∠ B' = β' = 141,78767892983° = 141°47'12″ = 0,66769463445 rad
∠ C' = γ' = 98,21332107017° = 98°12'48″ = 1,42774487579 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 70 b = 50 c = 80

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 70 + 50 + 80 = 200

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 0 0}{2} = 100

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 100 (100 - 70) (100 - 50) (100 - 80) S = 3000000 = 1732, 05

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 7 3 2 , 0 5}{7 0} = 49, 49 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 7 3 2 , 0 5}{5 0} = 69, 28 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 7 3 2 , 0 5}{8 0} = 43, 3

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{5 0 ^{2} + 8 0 ^{2} - 7 0 ^{2}}{2 \cdot 5 0 \cdot 8 0}) = 60 ° b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 0 ^{2} + 8 0 ^{2} - 5 0 ^{2}}{2 \cdot 7 0 \cdot 8 0}) = 38 ° 1 2^{'} 48 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 60 ° - 38 ° 1 2^{'} 48 " = 81 ° 4 7^{'} 12 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 7 3 2 , 0 5}{1 0 0} = 17, 32

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 0 \cdot 5 0 \cdot 8 0}{4 \cdot 1 7 , 3 2 1 \cdot 1 0 0} = 40, 41

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 0 ^{2} + 2 \cdot 8 0 ^{2} - 7 0 ^{2}}{2} = 56, 789 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 0 ^{2} + 2 \cdot 7 0 ^{2} - 5 0 ^{2}}{2} = 70, 887 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 0 ^{2} + 2 \cdot 5 0 ^{2} - 8 0 ^{2}}{2} = 45, 826

Vypočítať ďaľší trojuholník