Trojuholník 77 36 85

Pravouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 77
b = 36
c = 85

Obsah trojuholníka: S = 1386
Obvod trojuholníka: o = 198
Semiperimeter (poloobvod): s = 99

Uhol ∠ A = α = 64,94223845817° = 64°56'33″ = 1,1333458435 rad
Uhol ∠ B = β = 25,05876154183° = 25°3'27″ = 0,43773378917 rad
Uhol ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 36
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 77
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 32,61217647059

Ťažnica: t_a = 52,70991073724
Ťažnica: t_b = 79,07659128939
Ťažnica: t_c = 42,5

Polomer vpísanej kružnice: r = 14
Polomer opísanej kružnice: R = 42,5

Súradnice vrcholov: A[85; 0] B[0; 0] C[69,75329411765; 32,61217647059]
Ťažisko: T[51,58443137255; 10,87105882353]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[42,5; -0]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[63; 14]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 115,05876154183° = 115°3'27″ = 1,1333458435 rad
∠ B' = β' = 154,94223845817° = 154°56'33″ = 0,43773378917 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 77 b = 36 c = 85

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 77 + 36 + 85 = 198

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 9 8}{2} = 99

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 99 (99 - 77) (99 - 36) (99 - 85) S = 1920996 = 1386

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 3 8 6}{7 7} = 36 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 3 8 6}{3 6} = 77 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 3 8 6}{8 5} = 32, 61

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{3 6 ^{2} + 8 5 ^{2} - 7 7 ^{2}}{2 \cdot 3 6 \cdot 8 5}) = 64 ° 5 6^{'} 33 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 7 ^{2} + 8 5 ^{2} - 3 6 ^{2}}{2 \cdot 7 7 \cdot 8 5}) = 25 ° 3^{'} 27 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 64 ° 5 6^{'} 33 " - 25 ° 3^{'} 27 " = 90 °

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 3 8 6}{9 9} = 14

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 7 \cdot 3 6 \cdot 8 5}{4 \cdot 1 4 \cdot 9 9} = 42, 5

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 6 ^{2} + 2 \cdot 8 5 ^{2} - 7 7 ^{2}}{2} = 52, 709 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 5 ^{2} + 2 \cdot 7 7 ^{2} - 3 6 ^{2}}{2} = 79, 076 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 7 ^{2} + 2 \cdot 3 6 ^{2} - 8 5 ^{2}}{2} = 42, 5

Vypočítať ďaľší trojuholník