Trojuholník 8 10 17

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 8
b = 10
c = 17

Obsah trojuholníka: S = 24,96987304443
Obvod trojuholníka: o = 35
Semiperimeter (poloobvod): s = 17,5

Uhol ∠ A = α = 17,08325832434° = 17°4'57″ = 0,29881473223 rad
Uhol ∠ B = β = 21,54222496296° = 21°32'32″ = 0,37659831843 rad
Uhol ∠ C = γ = 141,3755167127° = 141°22'31″ = 2,46774621469 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 6,24221826111
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 4,99437460889
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 2,93774976993

Ťažnica: t_a = 13,36603892159
Ťažnica: t_b = 12,30985336251
Ťažnica: t_c = 3,12224989992

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,42767845968
Polomer opísanej kružnice: R = 13,61770319416

Súradnice vrcholov: A[17; 0] B[0; 0] C[7,44111764706; 2,93774976993]
Ťažisko: T[8,14770588235; 0,97991658998]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8,5; -10,63883062043]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,5; 1,42767845968]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 162,91774167566° = 162°55'3″ = 0,29881473223 rad
∠ B' = β' = 158,45877503704° = 158°27'28″ = 0,37659831843 rad
∠ C' = γ' = 38,62548328731° = 38°37'29″ = 2,46774621469 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 8 b = 10 c = 17

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 8 + 10 + 17 = 35

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 5}{2} = 17, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 17, 5 (17, 5 - 8) (17, 5 - 10) (17, 5 - 17) S = 623, 44 = 24, 97

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 4 , 9 7}{8} = 6, 24 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 4 , 9 7}{1 0} = 4, 99 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 4 , 9 7}{1 7} = 2, 94

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 7}) = 17 ° 4^{'} 57 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 7}) = 21 ° 3 2^{'} 32 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 17 ° 4^{'} 57 " - 21 ° 3 2^{'} 32 " = 141 ° 2 2^{'} 31 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 4 , 9 7}{1 7 , 5} = 1, 43

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 1 0 \cdot 1 7}{4 \cdot 1 , 4 2 7 \cdot 1 7 , 5} = 13, 62

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 13, 36 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 12, 309 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 3, 122

Vypočítať ďaľší trojuholník