Trojuholník 8 11 16
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 8
b = 11
c = 16
Obsah trojuholníka: S = 40,26108680979
Obvod trojuholníka: o = 35
Semiperimeter (poloobvod): s = 17,5
Uhol ∠ A = α = 27,227653999° = 27°13'36″ = 0,47551927668 rad
Uhol ∠ B = β = 38,98219890646° = 38°58'55″ = 0,68803640582 rad
Uhol ∠ C = γ = 113,79114709455° = 113°47'29″ = 1,98660358287 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 10,06552170245
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 7,3220157836
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 5,03326085122
Ťažnica: ta = 13,13439255366
Ťažnica: tb = 11,39107857499
Ťažnica: tc = 5,3398539126
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,30106210342
Polomer opísanej kružnice: R = 8,74329808802
Súradnice vrcholov: A[16; 0] B[0; 0] C[6,219875; 5,03326085122]
Ťažisko: T[7,406625; 1,67875361707]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8; -3,52769979687]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 2,30106210342]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 152,773346001° = 152°46'24″ = 0,47551927668 rad
∠ B' = β' = 141,01880109354° = 141°1'5″ = 0,68803640582 rad
∠ C' = γ' = 66,20985290545° = 66°12'31″ = 1,98660358287 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=11 c=16
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=8+11+16=35
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=235=17,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=17,5(17,5−8)(17,5−11)(17,5−16) S=1620,94=40,26
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 40,26=10,07 vb=b2 S=112⋅ 40,26=7,32 vc=c2 S=162⋅ 40,26=5,03
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 16112+162−82)=27°13′36" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1682+162−112)=38°58′55" γ=180°−α−β=180°−27°13′36"−38°58′55"=113°47′29"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=17,540,26=2,3
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,301⋅ 17,58⋅ 11⋅ 16=8,74
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 162−82=13,134 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 162+2⋅ 82−112=11,391 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 112−162=5,339
Vypočítať ďaľší trojuholník