Trojuholník 8 11 17
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 8
b = 11
c = 17
Obsah trojuholníka: S = 35,49664786986
Obvod trojuholníka: o = 36
Semiperimeter (poloobvod): s = 18
Uhol ∠ A = α = 22,31114770869° = 22°18'41″ = 0,38994087361 rad
Uhol ∠ B = β = 31,46769762933° = 31°28'1″ = 0,5499202342 rad
Uhol ∠ C = γ = 126,22215466198° = 126°13'18″ = 2,20329815755 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 8,87441196746
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 6,45439052179
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 4,17660563175
Ťažnica: ta = 13,74877270849
Ťažnica: tb = 12,09333866224
Ťažnica: tc = 4,5
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,97220265944
Polomer opísanej kružnice: R = 10,53662563756
Súradnice vrcholov: A[17; 0] B[0; 0] C[6,82435294118; 4,17660563175]
Ťažisko: T[7,94111764706; 1,39220187725]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8,5; -6,22659696765]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 1,97220265944]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 157,68985229131° = 157°41'19″ = 0,38994087361 rad
∠ B' = β' = 148,53330237067° = 148°31'59″ = 0,5499202342 rad
∠ C' = γ' = 53,77884533802° = 53°46'42″ = 2,20329815755 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=11 c=17
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=8+11+17=36
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=236=18
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=18(18−8)(18−11)(18−17) S=1260=35,5
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 35,5=8,87 vb=b2 S=112⋅ 35,5=6,45 vc=c2 S=172⋅ 35,5=4,18
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 17112+172−82)=22°18′41" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1782+172−112)=31°28′1" γ=180°−α−β=180°−22°18′41"−31°28′1"=126°13′18"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1835,5=1,97
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,972⋅ 188⋅ 11⋅ 17=10,54
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 172−82=13,748 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 172+2⋅ 82−112=12,093 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 112−172=4,5
Vypočítať ďaľší trojuholník