Trojuholník 8 13 19

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 8 b = 13 c = 19

Obsah trojuholníka: S = 40,98878030638
Obvod trojuholníka: o = 40
Semiperimeter (poloobvod): s = 20

Uhol ∠ A = α = 19,38332300516° = 19°23' = 0,33883011841 rad
Uhol ∠ B = β = 32,63768975036° = 32°38'13″ = 0,57696213191 rad
Uhol ∠ C = γ = 127,98798724449° = 127°58'48″ = 2,23436701504 rad

Výška trojuholníka: v_a = 10,2476950766
Výška trojuholníka: v_b = 6,3065815856
Výška trojuholníka: v_c = 4,31545055857

Ťažnica: t_a = 15,78797338381
Ťažnica: t_b = 13,04879883507
Ťažnica: t_c = 5,1233475383

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,04993901532
Polomer opísanej kružnice: R = 12,05223659009

Súradnice vrcholov: A[19; 0] B[0; 0] C[6,73768421053; 4,31545055857]
Ťažisko: T[8,57989473684; 1,43881685286]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9,5; -7,41768405544]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 2,04993901532]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 160,61767699484° = 160°37' = 0,33883011841 rad
∠ B' = β' = 147,36331024965° = 147°21'47″ = 0,57696213191 rad
∠ C' = γ' = 52,02201275551° = 52°1'12″ = 2,23436701504 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 8 b = 13 c = 19

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 8 + 13 + 19 = 40

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 0}{2} = 20

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 20 (20 - 8) (20 - 13) (20 - 19) S = 1680 = 40, 99

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 0 , 9 9}{8} = 10, 25 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 0 , 9 9}{1 3} = 6, 31 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 0 , 9 9}{1 9} = 4, 31

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 1 9 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 1 9}) = 19 ° 2 3^{'} b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 9 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 9}) = 32 ° 3 8^{'} 13 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 19 ° 2 3^{'} - 32 ° 3 8^{'} 13 " = 127 ° 5 8^{'} 48 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 0 , 9 9}{2 0} = 2, 05

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 1 3 \cdot 1 9}{4 \cdot 2 , 0 4 9 \cdot 2 0} = 12, 05

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 15, 78 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 13, 048 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 5, 123

Vypočítať ďaľší trojuholník