Trojuholník 8 14 15
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 8
b = 14
c = 15
Obsah trojuholníka: S = 55,31221822025
Obvod trojuholníka: o = 37
Semiperimeter (poloobvod): s = 18,5
Uhol ∠ A = α = 31,78883306171° = 31°47'18″ = 0,5554811033 rad
Uhol ∠ B = β = 67,20109687281° = 67°12'3″ = 1,17328781648 rad
Uhol ∠ C = γ = 81,01107006548° = 81°39″ = 1,41439034558 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 13,82880455506
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 7,90217403146
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 7,3754957627
Ťažnica: ta = 13,9466325681
Ťažnica: tb = 9,77224101428
Ťažnica: tc = 8,58877820187
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,99898476866
Polomer opísanej kružnice: R = 7,5933263966
Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[3,1; 7,3754957627]
Ťažisko: T[6,03333333333; 2,4588319209]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; 1,18664474947]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,5; 2,99898476866]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 148,2121669383° = 148°12'42″ = 0,5554811033 rad
∠ B' = β' = 112,79990312719° = 112°47'57″ = 1,17328781648 rad
∠ C' = γ' = 98,98992993452° = 98°59'21″ = 1,41439034558 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=14 c=15
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=8+14+15=37
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=237=18,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=18,5(18,5−8)(18,5−14)(18,5−15) S=3059,44=55,31
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 55,31=13,83 vb=b2 S=142⋅ 55,31=7,9 vc=c2 S=152⋅ 55,31=7,37
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 15142+152−82)=31°47′18" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1582+152−142)=67°12′3" γ=180°−α−β=180°−31°47′18"−67°12′3"=81°39"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=18,555,31=2,99
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,99⋅ 18,58⋅ 14⋅ 15=7,59
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 152−82=13,946 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 82−142=9,772 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 142−152=8,588
Vypočítať ďaľší trojuholník