Trojuholník 8 15 20
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 8
b = 15
c = 20
Obsah trojuholníka: S = 53,19771568789
Obvod trojuholníka: o = 43
Semiperimeter (poloobvod): s = 21,5
Uhol ∠ A = α = 20,77218550453° = 20°46'19″ = 0,36325372623 rad
Uhol ∠ B = β = 41,68795989952° = 41°40'47″ = 0,72774462334 rad
Uhol ∠ C = γ = 117,54985459595° = 117°32'55″ = 2,05216091579 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 13,29992892197
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 7,09329542505
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 5,32197156879
Ťažnica: ta = 17,21991753577
Ťažnica: tb = 13,25770735836
Ťažnica: tc = 6,67108320321
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,47442863665
Polomer opísanej kružnice: R = 11,27987982517
Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[5,975; 5,32197156879]
Ťažisko: T[8,65883333333; 1,77332385626]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; -5,21664441914]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 2,47442863665]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 159,22881449547° = 159°13'41″ = 0,36325372623 rad
∠ B' = β' = 138,32204010048° = 138°19'13″ = 0,72774462334 rad
∠ C' = γ' = 62,45114540405° = 62°27'5″ = 2,05216091579 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=15 c=20
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=8+15+20=43
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=243=21,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=21,5(21,5−8)(21,5−15)(21,5−20) S=2829,94=53,2
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 53,2=13,3 vb=b2 S=152⋅ 53,2=7,09 vc=c2 S=202⋅ 53,2=5,32
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 15⋅ 20152+202−82)=20°46′19" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 2082+202−152)=41°40′47" γ=180°−α−β=180°−20°46′19"−41°40′47"=117°32′55"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=21,553,2=2,47
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,474⋅ 21,58⋅ 15⋅ 20=11,28
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 152+2⋅ 202−82=17,219 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 202+2⋅ 82−152=13,257 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 152−202=6,671
Vypočítať ďaľší trojuholník