Trojuholník 8 18 25

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 8 b = 18 c = 25

Obsah trojuholníka: S = 40,90876704299
Obvod trojuholníka: o = 51
Semiperimeter (poloobvod): s = 25,5

Uhol ∠ A = α = 10,47553138432° = 10°28'31″ = 0,18328287167 rad
Uhol ∠ B = β = 24,14768479965° = 24°8'49″ = 0,42114420015 rad
Uhol ∠ C = γ = 145,37878381603° = 145°22'40″ = 2,53773219353 rad

Výška trojuholníka: v_a = 10,22769176075
Výška trojuholníka: v_b = 4,54552967144
Výška trojuholníka: v_c = 3,27326136344

Ťažnica: t_a = 21,41326131054
Ťažnica: t_b = 16,23326830807
Ťažnica: t_c = 6,14441028637

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,60442223698
Polomer opísanej kružnice: R = 22,00107639287

Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[7,3; 3,27326136344]
Ťažisko: T[10,76766666667; 1,09108712115]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; -18,10547953163]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,5; 1,60442223698]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 169,52546861568° = 169°31'29″ = 0,18328287167 rad
∠ B' = β' = 155,85331520035° = 155°51'11″ = 0,42114420015 rad
∠ C' = γ' = 34,62221618397° = 34°37'20″ = 2,53773219353 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 8 b = 18 c = 25

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 8 + 18 + 25 = 51

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 1}{2} = 25, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 25, 5 (25, 5 - 8) (25, 5 - 18) (25, 5 - 25) S = 1673, 44 = 40, 91

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 0 , 9 1}{8} = 10, 23 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 0 , 9 1}{1 8} = 4, 55 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 0 , 9 1}{2 5} = 3, 27

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 2 5 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 2 5}) = 10 ° 2 8^{'} 31 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 2 5 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 2 5}) = 24 ° 8^{'} 49 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 10 ° 2 8^{'} 31 " - 24 ° 8^{'} 49 " = 145 ° 2 2^{'} 40 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 0 , 9 1}{2 5 , 5} = 1, 6

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 1 8 \cdot 2 5}{4 \cdot 1 , 6 0 4 \cdot 2 5 , 5} = 22

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 21, 413 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 16, 233 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 6, 144

Vypočítať ďaľší trojuholník