Trojuholník 8 21 26

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 8
b = 21
c = 26

Obsah trojuholníka: S = 72,30879352492
Obvod trojuholníka: o = 55
Semiperimeter (poloobvod): s = 27,5

Uhol ∠ A = α = 15,35988855808° = 15°21'32″ = 0,26880631228 rad
Uhol ∠ B = β = 44,04986256741° = 44°2'55″ = 0,7698793549 rad
Uhol ∠ C = γ = 120,59224887451° = 120°35'33″ = 2,10547359818 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 18,07769838123
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 6,88664700237
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 5,56221488653

Ťažnica: t_a = 23,29216293977
Ťažnica: t_b = 16,11767614613
Ťažnica: t_c = 9,13878334412

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,62993794636
Polomer opísanej kružnice: R = 15,10220769192

Súradnice vrcholov: A[26; 0] B[0; 0] C[5,75; 5,56221488653]
Ťažisko: T[10,58333333333; 1,85440496218]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[13; -7,68658784321]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 2,62993794636]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 164,64111144192° = 164°38'28″ = 0,26880631228 rad
∠ B' = β' = 135,95113743259° = 135°57'5″ = 0,7698793549 rad
∠ C' = γ' = 59,40875112549° = 59°24'27″ = 2,10547359818 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 8 b = 21 c = 26

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 8 + 21 + 26 = 55

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 5}{2} = 27, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 27, 5 (27, 5 - 8) (27, 5 - 21) (27, 5 - 26) S = 5228, 44 = 72, 31

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 2 , 3 1}{8} = 18, 08 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 2 , 3 1}{2 1} = 6, 89 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 2 , 3 1}{2 6} = 5, 56

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 1 ^{2} + 2 6 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 2 1 \cdot 2 6}) = 15 ° 2 1^{'} 32 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 2 6 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 2 6}) = 44 ° 2^{'} 55 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 15 ° 2 1^{'} 32 " - 44 ° 2^{'} 55 " = 120 ° 3 5^{'} 33 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 2 , 3 1}{2 7 , 5} = 2, 63

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 2 1 \cdot 2 6}{4 \cdot 2 , 6 2 9 \cdot 2 7 , 5} = 15, 1

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 2 6 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 23, 292 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 6 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 16, 117 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2} = 9, 138

Vypočítať ďaľší trojuholník