Trojuholník 8 23 27

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 8
b = 23
c = 27

Obsah trojuholníka: S = 85,48768410927
Obvod trojuholníka: o = 58
Semiperimeter (poloobvod): s = 29

Uhol ∠ A = α = 15,98110813462° = 15°58'52″ = 0,27989224875 rad
Uhol ∠ B = β = 52,33301130357° = 52°19'48″ = 0,91333327704 rad
Uhol ∠ C = γ = 111,68988056181° = 111°41'20″ = 1,94993373957 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 21,37217102732
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 7,43436383559
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 6,33223585995

Ťažnica: t_a = 24,75988368063
Ťažnica: t_b = 16,2565768207
Ťažnica: t_c = 10,68987791632

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,94878221066
Polomer opísanej kružnice: R = 14,52985518113

Súradnice vrcholov: A[27; 0] B[0; 0] C[4,88988888889; 6,33223585995]
Ťažisko: T[10,63296296296; 2,11107861998]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[13,5; -5,36992474085]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 2,94878221066]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 164,01989186538° = 164°1'8″ = 0,27989224875 rad
∠ B' = β' = 127,67698869643° = 127°40'12″ = 0,91333327704 rad
∠ C' = γ' = 68,31111943819° = 68°18'40″ = 1,94993373957 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 8 b = 23 c = 27

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 8 + 23 + 27 = 58

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 8}{2} = 29

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 29 (29 - 8) (29 - 23) (29 - 27) S = 7308 = 85, 49

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 5 , 4 9}{8} = 21, 37 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 5 , 4 9}{2 3} = 7, 43 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 5 , 4 9}{2 7} = 6, 33

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 3 ^{2} + 2 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 2 3 \cdot 2 7}) = 15 ° 5 8^{'} 52 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 2 7 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 2 7}) = 52 ° 1 9^{'} 48 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 15 ° 5 8^{'} 52 " - 52 ° 1 9^{'} 48 " = 111 ° 4 1^{'} 20 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 5 , 4 9}{2 9} = 2, 95

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 2 3 \cdot 2 7}{4 \cdot 2 , 9 4 8 \cdot 2 9} = 14, 53

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 2 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 24, 759 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 7 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 16, 256 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 2 7 ^{2}}{2} = 10, 689

Vypočítať ďaľší trojuholník