Trojuholník 8 23 28

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 8
b = 23
c = 28

Obsah trojuholníka: S = 78,63880156159
Obvod trojuholníka: o = 59
Semiperimeter (poloobvod): s = 29,5

Uhol ∠ A = α = 14,13655915806° = 14°8'8″ = 0,24767126148 rad
Uhol ∠ B = β = 44,59877538761° = 44°35'52″ = 0,77883776441 rad
Uhol ∠ C = γ = 121,26766545433° = 121°16' = 2,11765023947 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 19,6659503904
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 6,83880883144
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 5,61770011154

Ťažnica: t_a = 25,30881014697
Ťažnica: t_b = 17,08106908525
Ťažnica: t_c = 10,02549688279

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,66656954446
Polomer opísanej kružnice: R = 16,37988466674

Súradnice vrcholov: A[28; 0] B[0; 0] C[5,69664285714; 5,61770011154]
Ťažisko: T[11,23221428571; 1,87223337051]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14; -8,50109774823]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 2,66656954446]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 165,86444084194° = 165°51'52″ = 0,24767126148 rad
∠ B' = β' = 135,40222461239° = 135°24'8″ = 0,77883776441 rad
∠ C' = γ' = 58,73333454567° = 58°44' = 2,11765023947 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 8 b = 23 c = 28

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 8 + 23 + 28 = 59

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 9}{2} = 29, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 29, 5 (29, 5 - 8) (29, 5 - 23) (29, 5 - 28) S = 6183, 94 = 78, 64

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 8 , 6 4}{8} = 19, 66 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 8 , 6 4}{2 3} = 6, 84 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 8 , 6 4}{2 8} = 5, 62

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 3 ^{2} + 2 8 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 2 3 \cdot 2 8}) = 14 ° 8^{'} 8 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 2 8 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 2 8}) = 44 ° 3 5^{'} 52 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 14 ° 8^{'} 8 " - 44 ° 3 5^{'} 52 " = 121 ° 1 6^{'}

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 8 , 6 4}{2 9 , 5} = 2, 67

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 2 3 \cdot 2 8}{4 \cdot 2 , 6 6 6 \cdot 2 9 , 5} = 16, 38

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 2 8 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 25, 308 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 8 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 17, 081 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 2 8 ^{2}}{2} = 10, 025

Vypočítať ďaľší trojuholník