Trojuholník 8 8 15
Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 8
b = 8
c = 15
Obsah trojuholníka: S = 20,87991163606
Obvod trojuholníka: o = 31
Semiperimeter (poloobvod): s = 15,5
Uhol ∠ A = α = 20,36441348063° = 20°21'51″ = 0,35554212017 rad
Uhol ∠ B = β = 20,36441348063° = 20°21'51″ = 0,35554212017 rad
Uhol ∠ C = γ = 139,27217303874° = 139°16'18″ = 2,43107502502 rad
Výška trojuholníka na stranu a : va = 5,22197790902
Výška trojuholníka na stranu b : vb = 5,22197790902
Výška trojuholníka na stranu c : vc = 2,78438821814
Ťažnica: ta = 11,33657840488
Ťažnica: tb = 11,33657840488
Ťažnica: tc = 2,78438821814
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,34770397652
Polomer opísanej kružnice: R = 11,49547393297
Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[7,5; 2,78438821814]
Ťažisko: T[7,5; 0,92879607271]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; -8,71108571483]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,5; 1,34770397652]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 159,63658651937° = 159°38'9″ = 0,35554212017 rad
∠ B' = β' = 159,63658651937° = 159°38'9″ = 0,35554212017 rad
∠ C' = γ' = 40,72882696126° = 40°43'42″ = 2,43107502502 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=8 c=15
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=8+8+15=31
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=231=15,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=15,5(15,5−8)(15,5−8)(15,5−15) S=435,94=20,88
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 20,88=5,22 vb=b2 S=82⋅ 20,88=5,22 vc=c2 S=152⋅ 20,88=2,78
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1582+152−82)=20°21′51" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1582+152−82)=20°21′51" γ=180°−α−β=180°−20°21′51"−20°21′51"=139°16′18"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=15,520,88=1,35
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,347⋅ 15,58⋅ 8⋅ 15=11,49
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 152−82=11,336 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 82−82=11,336 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 82−152=2,784
Vypočítať ďaľší trojuholník