Trojuholník 8 9 13

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 8
b = 9
c = 13

Obsah trojuholníka: S = 35,49664786986
Obvod trojuholníka: o = 30
Semiperimeter (poloobvod): s = 15

Uhol ∠ A = α = 37,35768519729° = 37°21'25″ = 0,65220000651 rad
Uhol ∠ B = β = 43,04990798002° = 43°2'57″ = 0,75113481825 rad
Uhol ∠ C = γ = 99,59440682269° = 99°35'39″ = 1,7388244406 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 8,87441196746
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 7,88881063775
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 5,46109967229

Ťažnica: t_a = 10,44403065089
Ťažnica: t_b = 9,81107084352
Ťažnica: t_c = 5,5

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,36664319132
Polomer opísanej kružnice: R = 6,59222031869

Súradnice vrcholov: A[13; 0] B[0; 0] C[5,84661538462; 5,46109967229]
Ťažisko: T[6,28220512821; 1,8220332241]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,5; -1,09987005311]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 2,36664319132]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 142,64331480271° = 142°38'35″ = 0,65220000651 rad
∠ B' = β' = 136,95109201998° = 136°57'3″ = 0,75113481825 rad
∠ C' = γ' = 80,40659317731° = 80°24'21″ = 1,7388244406 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 8 b = 9 c = 13

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 8 + 9 + 13 = 30

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 0}{2} = 15

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 15 (15 - 8) (15 - 9) (15 - 13) S = 1260 = 35, 5

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 5 , 5}{8} = 8, 87 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 5 , 5}{9} = 7, 89 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 5 , 5}{1 3} = 5, 46

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 3 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 3}) = 37 ° 2 1^{'} 25 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 3 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 3}) = 43 ° 2^{'} 57 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 37 ° 2 1^{'} 25 " - 43 ° 2^{'} 57 " = 99 ° 3 5^{'} 39 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 5 , 5}{1 5} = 2, 37

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 9 \cdot 1 3}{4 \cdot 2 , 3 6 6 \cdot 1 5} = 6, 59

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 10, 44 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 9, 811 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 5, 5

Vypočítať ďaľší trojuholník