Trojuholník 8 9 14

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 8
b = 9
c = 14

Obsah trojuholníka: S = 33,66765635312
Obvod trojuholníka: o = 31
Semiperimeter (poloobvod): s = 15,5

Uhol ∠ A = α = 32,30325452092° = 32°18'9″ = 0,56437857707 rad
Uhol ∠ B = β = 36,95550748363° = 36°57'18″ = 0,64549877312 rad
Uhol ∠ C = γ = 110,74223799545° = 110°44'33″ = 1,93328191517 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 8,41766408828
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 7,48114585625
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 4,81095090759

Ťažnica: t_a = 11,06879718106
Ťažnica: t_b = 10,47661634199
Ťažnica: t_c = 4,84876798574

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,17220363569
Polomer opísanej kružnice: R = 7,48551714451

Súradnice vrcholov: A[14; 0] B[0; 0] C[6,39328571429; 4,81095090759]
Ťažisko: T[6,79876190476; 1,6033169692]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7; -2,65109982202]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 2,17220363569]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 147,69774547908° = 147°41'51″ = 0,56437857707 rad
∠ B' = β' = 143,04549251637° = 143°2'42″ = 0,64549877312 rad
∠ C' = γ' = 69,25876200455° = 69°15'27″ = 1,93328191517 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 8 b = 9 c = 14

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 8 + 9 + 14 = 31

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 1}{2} = 15, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 15, 5 (15, 5 - 8) (15, 5 - 9) (15, 5 - 14) S = 1133, 44 = 33, 67

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 3 , 6 7}{8} = 8, 42 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 3 , 6 7}{9} = 7, 48 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 3 , 6 7}{1 4} = 4, 81

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 4 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 4}) = 32 ° 1 8^{'} 9 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 4 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 4}) = 36 ° 5 7^{'} 18 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 32 ° 1 8^{'} 9 " - 36 ° 5 7^{'} 18 " = 110 ° 4 4^{'} 33 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 3 , 6 7}{1 5 , 5} = 2, 17

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 9 \cdot 1 4}{4 \cdot 2 , 1 7 2 \cdot 1 5 , 5} = 7, 49

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 11, 068 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 10, 476 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 4, 848

Vypočítať ďaľší trojuholník