Trojuholník 9 12 14

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 9
b = 12
c = 14

Obsah trojuholníka: S = 53,511109698
Obvod trojuholníka: o = 35
Semiperimeter (poloobvod): s = 17,5

Uhol ∠ A = α = 39,57112194572° = 39°34'16″ = 0,69106480686 rad
Uhol ∠ B = β = 58,1454569176° = 58°8'40″ = 1,01548141743 rad
Uhol ∠ C = γ = 82,28442113668° = 82°17'3″ = 1,43661304108 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 11,89113548844
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 8,91985161633
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 7,64444424257

Ťažnica: t_a = 12,23772382505
Ťažnica: t_b = 10,12442283657
Ťažnica: t_c = 7,96986887253

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,05877769703
Polomer opísanej kružnice: R = 7,06439553538

Súradnice vrcholov: A[14; 0] B[0; 0] C[4,75; 7,64444424257]
Ťažisko: T[6,25; 2,54881474752]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7; 0,94884014132]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 3,05877769703]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 140,42987805428° = 140°25'44″ = 0,69106480686 rad
∠ B' = β' = 121,8555430824° = 121°51'20″ = 1,01548141743 rad
∠ C' = γ' = 97,71657886332° = 97°42'57″ = 1,43661304108 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 9 b = 12 c = 14

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 9 + 12 + 14 = 35

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 5}{2} = 17, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 17, 5 (17, 5 - 9) (17, 5 - 12) (17, 5 - 14) S = 2863, 44 = 53, 51

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 3 , 5 1}{9} = 11, 89 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 3 , 5 1}{1 2} = 8, 92 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 3 , 5 1}{1 4} = 7, 64

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 4 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 4}) = 39 ° 3 4^{'} 16 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 4 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 4}) = 58 ° 8^{'} 40 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 39 ° 3 4^{'} 16 " - 58 ° 8^{'} 40 " = 82 ° 1 7^{'} 3 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 3 , 5 1}{1 7 , 5} = 3, 06

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 1 2 \cdot 1 4}{4 \cdot 3 , 0 5 8 \cdot 1 7 , 5} = 7, 06

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 12, 237 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 10, 124 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 7, 969

Vypočítať ďaľší trojuholník