Trojuholník 9 13 21

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 9 b = 13 c = 21

Obsah trojuholníka: S = 33,79662645865
Obvod trojuholníka: o = 43
Semiperimeter (poloobvod): s = 21,5

Uhol ∠ A = α = 14,33550459687° = 14°20'6″ = 0,25501937506 rad
Uhol ∠ B = β = 20,95548664178° = 20°57'18″ = 0,36657314133 rad
Uhol ∠ C = γ = 144,71100876135° = 144°42'36″ = 2,52656674897 rad

Výška trojuholníka: v_a = 7,51102810192
Výška trojuholníka: v_b = 5,1999425321
Výška trojuholníka: v_c = 3,21986918654

Ťažnica: t_a = 16,87545370307
Ťažnica: t_b = 14,79901994577
Ťažnica: t_c = 3,84105728739

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,57219192831
Polomer opísanej kružnice: R = 18,17550855462

Súradnice vrcholov: A[21; 0] B[0; 0] C[8,40547619048; 3,21986918654]
Ťažisko: T[9,80215873016; 1,07328972885]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10,5; -14,83552193988]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8,5; 1,57219192831]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 165,66549540313° = 165°39'54″ = 0,25501937506 rad
∠ B' = β' = 159,04551335822° = 159°2'42″ = 0,36657314133 rad
∠ C' = γ' = 35,29899123865° = 35°17'24″ = 2,52656674897 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 9 b = 13 c = 21

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 9 + 13 + 21 = 43

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 3}{2} = 21, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 21, 5 (21, 5 - 9) (21, 5 - 13) (21, 5 - 21) S = 1142, 19 = 33, 8

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 3 , 8}{9} = 7, 51 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 3 , 8}{1 3} = 5, 2 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 3 , 8}{2 1} = 3, 22

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 2 1 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 2 1}) = 14 ° 2 0^{'} 6 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 2 1 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 2 1}) = 20 ° 5 7^{'} 18 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 14 ° 2 0^{'} 6 " - 20 ° 5 7^{'} 18 " = 144 ° 4 2^{'} 36 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 3 , 8}{2 1 , 5} = 1, 57

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 1 3 \cdot 2 1}{4 \cdot 1 , 5 7 2 \cdot 2 1 , 5} = 18, 18

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 16, 875 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 14, 79 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 3, 841

Vypočítať ďaľší trojuholník