Trojuholník 9 14 18
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 9
b = 14
c = 18
Obsah trojuholníka: S = 61,8954567613
Obvod trojuholníka: o = 41
Semiperimeter (poloobvod): s = 20,5
Uhol ∠ A = α = 29,42112427193° = 29°25'16″ = 0,51334975555 rad
Uhol ∠ B = β = 49,83296961902° = 49°49'47″ = 0,87696922638 rad
Uhol ∠ C = γ = 100,74990610905° = 100°44'57″ = 1,75884028343 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 13,75443483584
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 8,84220810876
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 6,87771741792
Ťažnica: ta = 15,48438625672
Ťažnica: tb = 12,39895116934
Ťažnica: tc = 7,58328754441
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,01992472006
Polomer opísanej kružnice: R = 9,16107393325
Súradnice vrcholov: A[18; 0] B[0; 0] C[5,80655555556; 6,87771741792]
Ťažisko: T[7,93551851852; 2,29223913931]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9; -1,70985505898]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 3,01992472006]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 150,57987572807° = 150°34'44″ = 0,51334975555 rad
∠ B' = β' = 130,17703038098° = 130°10'13″ = 0,87696922638 rad
∠ C' = γ' = 79,25109389095° = 79°15'3″ = 1,75884028343 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9 b=14 c=18
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=9+14+18=41
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=241=20,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=20,5(20,5−9)(20,5−14)(20,5−18) S=3830,94=61,89
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 61,89=13,75 vb=b2 S=142⋅ 61,89=8,84 vc=c2 S=182⋅ 61,89=6,88
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 18142+182−92)=29°25′16" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1892+182−142)=49°49′47" γ=180°−α−β=180°−29°25′16"−49°49′47"=100°44′57"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=20,561,89=3,02
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,019⋅ 20,59⋅ 14⋅ 18=9,16
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 182−92=15,484 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 182+2⋅ 92−142=12,39 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 142−182=7,583
Vypočítať ďaľší trojuholník