Trojuholník 9 15 17

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 9 b = 15 c = 17

Obsah trojuholníka: S = 67,36660708369
Obvod trojuholníka: o = 41
Semiperimeter (poloobvod): s = 20,5

Uhol ∠ A = α = 31,89548038856° = 31°53'41″ = 0,55766693421 rad
Uhol ∠ B = β = 61,71550959843° = 61°42'54″ = 1,07771316231 rad
Uhol ∠ C = γ = 86,39901001302° = 86°23'24″ = 1,50877916884 rad

Výška trojuholníka: v_a = 14,97702379638
Výška trojuholníka: v_b = 8,98221427783
Výška trojuholníka: v_c = 7,92554200985

Ťažnica: t_a = 15,38766825534
Ťažnica: t_b = 11,34768057179
Ťažnica: t_c = 8,98661003778

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,28661497969
Polomer opísanej kružnice: R = 8,51768986832

Súradnice vrcholov: A[17; 0] B[0; 0] C[4,26547058824; 7,92554200985]
Ťažisko: T[7,08882352941; 2,64218066995]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8,5; 0,53662491763]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 3,28661497969]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 148,10551961144° = 148°6'19″ = 0,55766693421 rad
∠ B' = β' = 118,28549040157° = 118°17'6″ = 1,07771316231 rad
∠ C' = γ' = 93,61098998698° = 93°36'36″ = 1,50877916884 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 9 b = 15 c = 17

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 9 + 15 + 17 = 41

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 1}{2} = 20, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 20, 5 (20, 5 - 9) (20, 5 - 15) (20, 5 - 17) S = 4538, 19 = 67, 37

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 7 , 3 7}{9} = 14, 97 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 7 , 3 7}{1 5} = 8, 98 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 7 , 3 7}{1 7} = 7, 93

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 1 7 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 1 7}) = 31 ° 5 3^{'} 41 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 7}) = 61 ° 4 2^{'} 54 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 31 ° 5 3^{'} 41 " - 61 ° 4 2^{'} 54 " = 86 ° 2 3^{'} 24 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 7 , 3 7}{2 0 , 5} = 3, 29

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 1 5 \cdot 1 7}{4 \cdot 3 , 2 8 6 \cdot 2 0 , 5} = 8, 52

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 15, 387 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 11, 347 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 8, 986

Vypočítať ďaľší trojuholník