Trojuholník 9 16 24

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 9
b = 16
c = 24

Obsah trojuholníka: S = 40,17438409914
Obvod trojuholníka: o = 49
Semiperimeter (poloobvod): s = 24,5

Uhol ∠ A = α = 12,07877450929° = 12°4'40″ = 0,21107964181 rad
Uhol ∠ B = β = 21,83877815071° = 21°50'16″ = 0,38111411886 rad
Uhol ∠ C = γ = 146,08444734° = 146°5'4″ = 2,55496550469 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 8,92875202203
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 5,02217301239
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 3,34878200826

Ťažnica: t_a = 19,89334662641
Ťažnica: t_b = 16,26334559673
Ťažnica: t_c = 4,95497474683

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,64397486119
Polomer opísanej kružnice: R = 21,50765320786

Súradnice vrcholov: A[24; 0] B[0; 0] C[8,35441666667; 3,34878200826]
Ťažisko: T[10,78547222222; 1,11659400275]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12; -17,84774346069]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8,5; 1,64397486119]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 167,92222549071° = 167°55'20″ = 0,21107964181 rad
∠ B' = β' = 158,16222184929° = 158°9'44″ = 0,38111411886 rad
∠ C' = γ' = 33,91655266° = 33°54'56″ = 2,55496550469 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 9 b = 16 c = 24

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 9 + 16 + 24 = 49

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 9}{2} = 24, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 24, 5 (24, 5 - 9) (24, 5 - 16) (24, 5 - 24) S = 1613, 94 = 40, 17

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 0 , 1 7}{9} = 8, 93 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 0 , 1 7}{1 6} = 5, 02 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 0 , 1 7}{2 4} = 3, 35

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 2 4 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 2 4}) = 12 ° 4^{'} 40 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 2 4 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 2 4}) = 21 ° 5 0^{'} 16 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 12 ° 4^{'} 40 " - 21 ° 5 0^{'} 16 " = 146 ° 5^{'} 4 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 0 , 1 7}{2 4 , 5} = 1, 64

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 1 6 \cdot 2 4}{4 \cdot 1 , 6 4 \cdot 2 4 , 5} = 21, 51

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 19, 893 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 16, 263 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 4, 95

Vypočítať ďaľší trojuholník