Trojuholník 9 9 15
Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 9 b = 9 c = 15Obsah trojuholníka: S = 37,31220288915
Obvod trojuholníka: o = 33
Semiperimeter (poloobvod): s = 16,5
Uhol ∠ A = α = 33,55773097619° = 33°33'26″ = 0,58656855435 rad
Uhol ∠ B = β = 33,55773097619° = 33°33'26″ = 0,58656855435 rad
Uhol ∠ C = γ = 112,88553804762° = 112°53'7″ = 1,97702215667 rad
Výška trojuholníka: va = 8,29215619759
Výška trojuholníka: vb = 8,29215619759
Výška trojuholníka: vc = 4,97549371855
Ťažnica: ta = 11,52217186218
Ťažnica: tb = 11,52217186218
Ťažnica: tc = 4,97549371855
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,26113350843
Polomer opísanej kružnice: R = 8,14108063036
Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[7,5; 4,97549371855]
Ťažisko: T[7,5; 1,65883123952]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; -3,16658691181]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,5; 2,26113350843]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 146,44326902381° = 146°26'34″ = 0,58656855435 rad
∠ B' = β' = 146,44326902381° = 146°26'34″ = 0,58656855435 rad
∠ C' = γ' = 67,11546195238° = 67°6'53″ = 1,97702215667 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9 b=9 c=15
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=9+9+15=33
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=233=16,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=16,5(16,5−9)(16,5−9)(16,5−15) S=1392,19=37,31
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 37,31=8,29 vb=b2 S=92⋅ 37,31=8,29 vc=c2 S=152⋅ 37,31=4,97
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1592+152−92)=33°33′26" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1592+152−92)=33°33′26" γ=180°−α−β=180°−33°33′26"−33°33′26"=112°53′7"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=16,537,31=2,26
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,261⋅ 16,59⋅ 9⋅ 15=8,14
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 92+2⋅ 152−92=11,522 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 92−92=11,522 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 92−152=4,975
Vypočítať ďaľší trojuholník