Výpočet trojúhelníku - výsledek

Prosím zadejte co o trojúhelníku víte:
Definice symbolů ABC trojúhelníku

Zadané strana a, b a c.

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 9   b = 10   c = 4

Obsah trojúhelníku: S = 17.98443682124
Obvod trojúhelníku: o = 23
Semiperimeter (poloobvod): s = 11.5

Úhel ∠ A = α = 64.05655202276° = 64°3'20″ = 1.1187979732 rad
Úhel ∠ B = β = 92.38880154633° = 92°23'17″ = 1.61224750592 rad
Úhel ∠ C = γ = 23.55664643091° = 23°33'23″ = 0.41111378623 rad

Výška trojúhelníku: va = 3.99765262694
Výška trojúhelníku: vb = 3.59768736425
Výška trojúhelníku: vc = 8.99221841062

Těžnice: ta = 6.14441028637
Těžnice: tb = 4.84876798574
Těžnice: tc = 9.30105376189

Poloměr vepsané kružnice: r = 1.56438581054
Poloměr opsané kružnice: R = 5.00443459374

Souřadnice vrcholů: A[4; 0] B[0; 0] C[-0.375; 8.99221841062]
Těžiště: T[1.20883333333; 2.99773947021]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[2; 4.58773171093]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1.5; 1.56438581054]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 115.9444479772° = 115°56'40″ = 1.1187979732 rad
∠ B' = β' = 87.61219845367° = 87°36'43″ = 1.61224750592 rad
∠ C' = γ' = 156.4443535691° = 156°26'37″ = 0.41111378623 rad

Vypočítat další trojúhelník




Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

1. Zadané vstupní údaje: strana a, b a c.

a = 9; b = 10; c = 4

2. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a+b+c = 9+10+4 = 23

3. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = fraction{ o }{ 2 } = fraction{ 23 }{ 2 } = 11.5

4. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) }; S = sqrt{ 11.5 * (11.5-9)(11.5-10)(11.5-4) }; S = sqrt{ 323.44 } = 17.98

5. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = fraction{ a v_a }{ 2 }; ; ; v_a = fraction{ 2 S }{ a } = fraction{ 2 * 17.98 }{ 9 } = 4; v_b = fraction{ 2 S }{ b } = fraction{ 2 * 17.98 }{ 10 } = 3.6; v_c = fraction{ 2 S }{ c } = fraction{ 2 * 17.98 }{ 4 } = 8.99

6. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a**2 = b**2+c**2 - 2bc cos alpha; ; ; alpha = arccos( fraction{ b**2+c**2-a**2 }{ 2bc } ) = arccos( fraction{ 10**2+4**2-9**2 }{ 2 * 10 * 4 } ) = 64° 3'20"; ; ; b**2 = a**2+c**2 - 2ac cos beta; beta = arccos( fraction{ a**2+c**2-b**2 }{ 2ac } ) = arccos( fraction{ 9**2+4**2-10**2 }{ 2 * 9 * 4 } ) = 92° 23'17"
 gamma = 180° - alpha - beta = 180° - 64° 3'20" - 92° 23'17" = 23° 33'23"

7. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = rs; r = fraction{ S }{ s } = fraction{ 17.98 }{ 11.5 } = 1.56

8. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = fraction{ a b c }{ 4 r s } = fraction{ 9 * 10 * 4 }{ 4 * 1.564 * 11.5 } = 5

9. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_a = fraction{ sqrt{ 2 b**2+2c**2 - a**2 } }{ 2 } = fraction{ sqrt{ 2 * 10**2+2 * 4**2 - 9**2 } }{ 2 } = 6.144; t_b = fraction{ sqrt{ 2 c**2+2a**2 - b**2 } }{ 2 } = fraction{ sqrt{ 2 * 4**2+2 * 9**2 - 10**2 } }{ 2 } = 4.848; t_c = fraction{ sqrt{ 2 b**2+2a**2 - c**2 } }{ 2 } = fraction{ sqrt{ 2 * 10**2+2 * 9**2 - 4**2 } }{ 2 } = 9.301
Vypočítat další trojúhelník