Řezy kužele

Kužel s poloměrem podstavy 16 cm a výškou 16 cm rozdělíme rovinami rovnoběžnými s podstavou na tři tělesa. Roviny rozdělí výšku kužele na tři stejné části. Určete poměr objemů největšího a nejmenšího vzniklého tělesa.

Správná odpověď:

p =  19:1

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} r=16 \\ v=16 \\ {V}_1=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (r/3{)}^2\cdot (v/3)=\frac{1}{3}\cdot 3,1416\cdot (16/3{)}^2\cdot (16/3)\doteq 158,8637 \\ {V}_2=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (2\cdot r/3{)}^2\cdot (2\cdot v/3)=\frac{1}{3}\cdot 3,1416\cdot (2\cdot 16/3{)}^2\cdot (2\cdot 16/3)\doteq 1270,91 \\ {V}_3=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot v=\frac{1}{3}\cdot 3,1416\cdot 16^2\cdot 16\doteq 4289,3212 \\ {p}_0=\frac{V_3-V_2}{V_1}=\frac{4289,3212-1270,91}{158,8637}=19 \\ p=\frac{\frac{1}{3}\pi r^{2}v-\frac{1}{3}\pi (2r/3{)}^2(2v/3)}{\frac{1}{3}\pi (r/3{)}^2(v/3)} \\ p=\frac{r^{2}v-(2r/3{)}^2(2v/3)}{(r/3{)}^2(v/3)} \\ p=\frac{r^2-(2r/3{)}^2(2/3)}{(r/3{)}^2\cdot (1/3)} \\ p=\frac{1-(2/3{)}^2(2/3)}{(1/3{)}^2/3} \\ p=\frac{1-(2/3{)}^2(2/3)}{(1/3{)}^2/3} \\ p=\frac{19/27}{1/27} \\ p=\frac{19/27}{1/27} \\ p=\frac{19}{1}=19=19:1 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad