Rezy kužela

Kužeľ s polomerom podstavy 18 cm a výškou 12 cm rozdelíme rovinami rovnobežnými s podstavou na tri telesá. Roviny rozdelia výšku kužeľa na tri rovnaké časti. Určte pomer objemov najväčšieho a najmenšieho vzniknutého telesa.

Správna odpoveď:

p =  19:1

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} r=18 \\ v=12 \\ {V}_1=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (r/3{)}^2\cdot (v/3)=\frac{1}{3}\cdot 3,1416\cdot (18/3{)}^2\cdot (12/3)\doteq 150,7964 \\ {V}_2=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (2\cdot r/3{)}^2\cdot (2\cdot v/3)=\frac{1}{3}\cdot 3,1416\cdot (2\cdot 18/3{)}^2\cdot (2\cdot 12/3)\doteq 1206,3716 \\ {V}_3=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot v=\frac{1}{3}\cdot 3,1416\cdot 18^2\cdot 12\doteq 4071,5041 \\ {p}_0=\frac{V_3-V_2}{V_1}=\frac{4071,5041-1206,3716}{150,7964}=19 \\ p=\frac{\frac{1}{3}\pi r^{2}v-\frac{1}{3}\pi (2r/3{)}^2(2v/3)}{\frac{1}{3}\pi (r/3{)}^2(v/3)} \\ p=\frac{r^{2}v-(2r/3{)}^2(2v/3)}{(r/3{)}^2(v/3)} \\ p=\frac{r^2-(2r/3{)}^2(2/3)}{(r/3{)}^2\cdot (1/3)} \\ p=\frac{1-(2/3{)}^2(2/3)}{(1/3{)}^2/3} \\ p=\frac{1-(2/3{)}^2(2/3)}{(1/3{)}^2/3} \\ p=\frac{19/27}{1/27} \\ p=\frac{19/27}{1/27} \\ p=\frac{19}{1}=19=19:1 \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad