Vodarenské roury

Jednou rourou nateče pětina nádrže o 20 minut dříve než druhou. Obě roury společně naplní nádrž za 2 hodiny. Za jak dlouho se naplní nádrž každou rourou zvlášť?

Správná odpověď:

a =  200 min
b =  300 min

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} t_1=20\text{min} \\ {t}_2=2\text{h}\to \text{min}=2\cdot 60\text{min}=120\text{min} \\ a=b-t_1\cdot 5 \\ {t}_2\cdot (1/a+1/b)=1 \\ {t}_2\cdot (b+a)=ab \\ {t}_2\cdot ((a+t_1\cdot 5)+a)=a\cdot (a+t_1\cdot 5) \\ 120\cdot ((a+20\cdot 5)+a)=a\cdot (a+20\cdot 5) \\ -a^2+140a+12000=0 \\ {a}^2-140a-12000=0 \\ p=1;q=-140;r=-12000 \\ D=q^2-4pr=140^2-4\cdot 1\cdot (-12000)=67600 \\ D>0 \\ {a}_{1,2}=\frac{-q\pm \sqrt{D}}{2p}=\frac{140\pm \sqrt{67600}}{2} \\ {a}_{1,2}=\frac{140\pm 260}{2} \\ {a}_{1,2}=70\pm 130 \\ {a}_1=200 \\ {a}_2=-60 \\ a=a_1=200=200\text{min} \end{gathered}$$

Výpočet overte naším kalkulátorem kvadratických rovnic.

$b=(a+t_1\cdot 5)=(200+20\cdot 5)=300\text{min}$

Zkusit jiný příklad