Přesýpací hodiny

Přesýpací hodiny sestávají ze dvou shodných nádobek ve tvaru rotačních kuželů. Pro jednoduchost předpokládáme, že koužely se dotýkají pouze svými vrcholy. Písek sahá do poloviny výšky spodního kužele. Po překlopení hodí trvá přesně 21 minut, než se písek přesype z horní nádobky do spodní. Kolik minut by trvalo přesypání veškerého písku, kdyby na začátku byla spodní nádobka naplněna celá pískem?

Správná odpověď:

t₂ =  24 min

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} t_1=21\text{min} \\ {t}_1\dots V_1 \\ {t}_2\dots V \\ {h}_1=h/2 \\ {V}_2=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r_2^2\cdot (h/2) \\ V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h \\ {r}_2:h_2=r:h \\ {r}_2:(h/2)=r:h \\ {r}_2=r/2 \\ {V}_2=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (r/2{)}^2\cdot (h/2)=V/8 \\ {V}_2=V/8 \\ {V}_1=V-V_2=\frac{7}{8}V \\ {t}_2:V=t_1:V_1 \\ {t}_2=t_1\cdot V:V_1 \\ {t}_2=t_1\cdot V:(\frac{7}{8}V) \\ {t}_2=t_1\cdot \frac{8}{7}=21\cdot \frac{8}{7}=\frac{21\cdot 8}{7}=\frac{168}{7}=24\text{min} \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad