Presypacie

Presýpacie hodiny pozostavajú z dvoch zhodných nádobiek v tvare rotačných kúžeľov. Pre jednoduchosť predpokladame, že kúžele sa dotýkajú iba svojimi vrcholmi. Piesok siaha do polovice výšky spodného kúžeľa. Po preklopení hodií trvá presne 21 minút, kým sa piesok presype z hornej nádobky do spodnej. Koľko minút by trvalo presypanie všetkého piesku, keby na začiatku bola spodná nádobka naplnená celá pieskom?

Správna odpoveď:

t₂ =  24 min

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} t_1=21\text{min} \\ {t}_1\dots V_1 \\ {t}_2\dots V \\ {h}_1=h/2 \\ {V}_2=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r_2^2\cdot (h/2) \\ V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h \\ {r}_2:h_2=r:h \\ {r}_2:(h/2)=r:h \\ {r}_2=r/2 \\ {V}_2=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (r/2{)}^2\cdot (h/2)=V/8 \\ {V}_2=V/8 \\ {V}_1=V-V_2=\frac{7}{8}V \\ {t}_2:V=t_1:V_1 \\ {t}_2=t_1\cdot V:V_1 \\ {t}_2=t_1\cdot V:(\frac{7}{8}V) \\ {t}_2=t_1\cdot \frac{8}{7}=21\cdot \frac{8}{7}=\frac{21\cdot 8}{7}=\frac{168}{7}=24\text{min} \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad