Pravděpodobnost onemocnění ve vzorku

Nemoc postihuje 10 % jedinců v populaci a z populace byl vybrán vzorek 100 lidí. Jaká je pravděpodobnost zjištění onemocnění u alespoň 15 lidí?

Správná odpověď:

p =  0,0726

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} r=10\%=\frac{10}{100}=\frac{1}{10}=0,1 \\ n=100 \\ {n}_1=15 \\ {p}_0=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)\cdot r^0\cdot (1-r{)}^{n-0}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{0})\cdot 0,1^0\cdot (1-0,1{)}^{100-0}=1\cdot 0,1^0\cdot 0,9^{100}\doteq 2,6561\cdot 10^{-5} \\ {p}_1=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)\cdot r^1\cdot (1-r{)}^{n-1}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{1})\cdot 0,1^1\cdot (1-0,1{)}^{100-1}=100\cdot 0,1^1\cdot 0,9^{99}\doteq 0,0003 \\ {p}_2=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)\cdot r^2\cdot (1-r{)}^{n-2}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{2})\cdot 0,1^2\cdot (1-0,1{)}^{100-2}=4950\cdot 0,1^2\cdot 0,9^{98}\doteq 0,0016 \\ {p}_3=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}\right)\cdot r^3\cdot (1-r{)}^{n-3}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{3})\cdot 0,1^3\cdot (1-0,1{)}^{100-3}=161700\cdot 0,1^3\cdot 0,9^{97}\doteq 0,0059 \\ {p}_4=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{4}\right)\cdot r^4\cdot (1-r{)}^{n-4}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{4})\cdot 0,1^4\cdot (1-0,1{)}^{100-4}=3921225\cdot 0,1^4\cdot 0,9^{96}\doteq 0,0159 \\ {p}_5=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{5}\right)\cdot r^5\cdot (1-r{)}^{n-5}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{5})\cdot 0,1^5\cdot (1-0,1{)}^{100-5}=75287520\cdot 0,1^5\cdot 0,9^{95}\doteq 0,0339 \\ {p}_6=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{6}\right)\cdot r^6\cdot (1-r{)}^{n-6}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{6})\cdot 0,1^6\cdot (1-0,1{)}^{100-6}=1192052400\cdot 0,1^6\cdot 0,9^{94}\doteq 0,0596 \\ {p}_7=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{7}\right)\cdot r^7\cdot (1-r{)}^{n-7}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{7})\cdot 0,1^7\cdot (1-0,1{)}^{100-7}=16007560800\cdot 0,1^7\cdot 0,9^{93}\doteq 0,0889 \\ {p}_8=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{8}\right)\cdot r^8\cdot (1-r{)}^{n-8}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{8})\cdot 0,1^8\cdot (1-0,1{)}^{100-8}=186087894300\cdot 0,1^8\cdot 0,9^{92}\doteq 0,1148 \\ {p}_9=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{9}\right)\cdot r^9\cdot (1-r{)}^{n-9}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{9})\cdot 0,1^9\cdot (1-0,1{)}^{100-9}=1902231808400\cdot 0,1^9\cdot 0,9^{91}\doteq 0,1304 \\ {p}_{10}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{10}\right)\cdot r^{10}\cdot (1-r{)}^{n-10}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{10})\cdot 0,1^{10}\cdot (1-0,1{)}^{100-10}=17310309456440\cdot 0,1^{10}\cdot 0,9^{90}\doteq 0,1319 \\ {p}_{11}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{11}\right)\cdot r^{11}\cdot (1-r{)}^{n-11}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{11})\cdot 0,1^{11}\cdot (1-0,1{)}^{100-11}=141629804643600\cdot 0,1^{11}\cdot 0,9^{89}\doteq 0,1199 \\ {p}_{12}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{12}\right)\cdot r^{12}\cdot (1-r{)}^{n-12}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{12})\cdot 0,1^{12}\cdot (1-0,1{)}^{100-12}=1050421051106700\cdot 0,1^{12}\cdot 0,9^{88}\doteq 0,0988 \\ {p}_{13}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{13}\right)\cdot r^{13}\cdot (1-r{)}^{n-13}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{13})\cdot 0,1^{13}\cdot (1-0,1{)}^{100-13}=7110542499799200\cdot 0,1^{13}\cdot 0,9^{87}\doteq 0,0743 \\ {p}_{14}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{14}\right)\cdot r^{14}\cdot (1-r{)}^{n-14}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{14})\cdot 0,1^{14}\cdot (1-0,1{)}^{100-14}=44186942677323600\cdot 0,1^{14}\cdot 0,9^{86}\doteq 0,0513 \\ a=p_0+p_1+p_2+p_3+p_4+p_5+p_6+p_7+p_8+p_9+p_{10}+p_{11}+p_{12}+p_{13}+p_{14}=2,6561\cdot 10^{-5}+0,0003+0,0016+0,0059+0,0159+0,0339+0,0596+0,0889+0,1148+0,1304+0,1319+0,1199+0,0988+0,0743+0,0513\doteq 0,9274 \\ p=1-a=1-0,9274=0,0726 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad