MO z5 2024

Anetčin strýc má narozeniny ve stejný den v roce jako Anetčina teta. Strýc je starší než teta, ne však o víc než o deset let, a oba jsou plnoletí. Na poslední oslavě jejich narozenin si Anetka uvědomila, že když vynásobí jejich oslavované věky a výsledný součin ještě vynásobí počtem psů, kteří se na oslavě sešli, dostane číslo 2024.

Kolik psů mohlo být na této oslavě? Určete všechny možnosti.

Správná odpověď:

p₁ =  4
p₂ =  1

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} 17<t<s<t+10 \\ s\cdot t\cdot p=2024 \\ s,t,p\in N \\ 2024=2\times 2\times 2\times 11\times 23 \\ {t}_1=2\cdot 11=22 \\ {s}_1=23 \\ {p}_1=2024/(t_1\cdot s_1)=2024/(22\cdot 23)=4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} t_2=2\cdot 2\cdot 11=44 \\ {s}_2=2\cdot 23=46 \\ {p}_2=2024/(t_2\cdot s_2)=2024/(44\cdot 46)=1 \\ {p}_2=1 \\ \text{ Zkousˇka spraˊvnosti: } \\ {w}_1=p_1\cdot s_1\cdot t_1=4\cdot 23\cdot 22=2024 \\ {w}_2=p_2\cdot s_2\cdot t_2=1\cdot 46\cdot 44=2024 \\ {r}_1=s_1-t_1=23-22=1 \\ {r}_2=s_2-t_2=46-44=2 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad