Výpočet trojuholníka - výsledok

Zadané strana a a pomer uhlov α:β:γ = 2:3:7.

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 1
b = 1,41442135624
c = 1,93218516526

Obsah trojuholníka: S = 0,68330127019
Obvod trojuholníka: o = 4,3466065215
Semiperimeter (poloobvod): s = 2,17330326075

Uhol ∠ A = α = 30° = 0,52435987756 rad
Uhol ∠ B = β = 45° = 0,78553981634 rad
Uhol ∠ C = γ = 105° = 1,83325957146 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 1,36660254038
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 0,96659258263
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 0,70771067812

Ťažnica: t_a = 1,61774131828
Ťažnica: t_b = 1,36660254038
Ťažnica: t_c = 0,75329855896

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,31443131399
Polomer opísanej kružnice: R = 1

Súradnice vrcholov: A[1,93218516526; 0] B[0; 0] C[0,70771067812; 0,70771067812]
Ťažisko: T[0,88796528113; 0,23657022604]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[0,96659258263; -0,25988190451]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[0,75988190451; 0,31443131399]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 150° = 0,52435987756 rad
∠ B' = β' = 135° = 0,78553981634 rad
∠ C' = γ' = 75° = 1,83325957146 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).

1. Zadané vstupné údaje: strana a a pomer uhlov α:β:γ.

a = 1 α : β : γ = 2 : 3 : 7

2. Z pomer uhlov α:β:γ = 2:3:7 vypočítame α, β, γ:

α : β : γ = 2 : 3 : 7 = 2 φ : 3 φ : 7 φ α + β + γ = 180 ° 2 φ + 3 φ + 7 φ = 180 ° φ = \frac{1 8 0 °}{2 + 3 + 7} = \frac{1 8 0 °}{1 2} = 15 ° α = 2 \cdot φ = 30 ° β = 3 \cdot φ = 45 ° γ = 7 \cdot φ = 105 °

3. Zo strany a a úhla β vypočítame výšku v_c:

v_{c} = a \cdot sin β = 1 \cdot sin 45 ° = 0, 707

4. Z úhla β, úhla α a výšky v_c vypočítame stranu c:

t g β = v_{c} : c_{1} t g α = v_{c} : c_{2} c_{1} = v_{c} / t g β = 0, 707 c_{2} = v_{c} / t g α = 1, 225 c = c_{1} + c_{2} = 0, 707 + 1, 225 = 1, 932

5. Z výšky v_c a úhla α vypočítame stranu b:

sin α = v_{c} : b b = \frac{v _{c}}{sin α} = \frac{0 , 7 0 7}{sin 3 0 °} = 1, 414

6. Zo strany a a úhla γ vypočítame výšku v_b:

v_{b} = a \cdot sin γ = 1 \cdot sin 105 ° = 0, 966

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.

a = 1 b = 1, 41 c = 1, 93

7. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 1 + 1, 41 + 1, 93 = 4, 35

8. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 , 3 5}{2} = 2, 17

9. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 2, 17 (2, 17 - 1) (2, 17 - 1, 41) (2, 17 - 1, 93) S = 0, 47 = 0, 68

10. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 0 , 6 8}{1} = 1, 37 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 0 , 6 8}{1 , 4 1} = 0, 97 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 0 , 6 8}{1 , 9 3} = 0, 71

11. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 , 4 1 ^{2} + 1 , 9 3 ^{2} - 1 ^{2}}{2 \cdot 1 , 4 1 \cdot 1 , 9 3}) = 30 ° b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 ^{2} + 1 , 9 3 ^{2} - 1 , 4 1 ^{2}}{2 \cdot 1 \cdot 1 , 9 3}) = 45 ° γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 30 ° - 45 ° = 105 °

12. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{0 , 6 8}{2 , 1 7} = 0, 31

13. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 \cdot 1 , 4 1 \cdot 1 , 9 3}{4 \cdot 0 , 3 1 4 \cdot 2 , 1 7 3} = 1

14. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 , 4 1 ^{2} + 2 \cdot 1 , 9 3 ^{2} - 1 ^{2}}{2} = 1, 617 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 , 9 3 ^{2} + 2 \cdot 1 ^{2} - 1 , 4 1 ^{2}}{2} = 1, 366 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 ^{2} + 2 \cdot 1 , 4 1 ^{2} - 1 , 9 3 ^{2}}{2} = 0, 753

Vypočítať ďaľší trojuholník