Výpočet trojuholníka - výsledok
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 6
b = 7
c = 2,0011111267
Obsah trojuholníka: S = 5,56661941738
Obvod trojuholníka: o = 15,0011111267
Semiperimeter (poloobvod): s = 7,50105556335
Uhol ∠ A = α = 52,63296682235° = 52°37'47″ = 0,91985609947 rad
Uhol ∠ B = β = 112° = 1,95547687622 rad
Uhol ∠ C = γ = 15,37703317765° = 15°22'13″ = 0,26882628966 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 1,85553980579
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 1,59903411925
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 5,56331031274
Ťažnica: ta = 4,18435658416
Ťažnica: tb = 2,78442814426
Ťažnica: tc = 6,44219630878
Polomer vpísanej kružnice: r = 0,74221042448
Polomer opísanej kružnice: R = 3,77548715994
Súradnice vrcholov: A[2,0011111267; 0] B[0; 0] C[-2,24876395605; 5,56331031274]
Ťažisko: T[-0,08221760978; 1,85443677091]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[1,00105556335; 3,64398549444]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[0,50105556335; 0,74221042448]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 127,37703317765° = 127°22'13″ = 0,91985609947 rad
∠ B' = β' = 68° = 1,95547687622 rad
∠ C' = γ' = 164,63296682235° = 164°37'47″ = 0,26882628966 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).1. Zadané vstupné údaje: strany a, b a uhol β.
a=6 b=7 β=112°
2. Z úhla β, strany a a strany b vypočítame stranu c - použitím kosínusovej vety a vzniknutej kvadratickej rovnice:
b2=a2+c2−2accosβ 72=62+c2−2⋅ 6⋅ c⋅ cos112° c2+4,495c−13=0 p=1;q=4,495;r=−13 D=q2−4pr=4,4952−4⋅1⋅(−13)=72,2075343756 D>0 c1,2=2p−q±D=2−4,5±72,21 c1,2=−2,24764±4,248751 c1=2,001111267 c2=−6,496390388 c>0 c=2,001
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán (SSS).
a=6 b=7 c=2
3. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=6+7+2=15
4. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=215=7,5
5. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=7,5(7,5−6)(7,5−7)(7,5−2) S=30,98=5,57
6. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 5,57=1,86 vb=b2 S=72⋅ 5,57=1,59 vc=c2 S=22⋅ 5,57=5,56
7. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 7⋅ 272+22−62)=52°37′47" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 262+22−72)=112° γ=180°−α−β=180°−52°37′47"−112°=15°22′13"
8. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=7,55,57=0,74
9. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 0,742⋅ 7,5016⋅ 7⋅ 2=3,77
10. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 72+2⋅ 22−62=4,184 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 22+2⋅ 62−72=2,784 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 72−22=6,442
Vypočítať ďaľší trojuholník