Výpočet trojuholníka - výsledok

Prosím prosím zadajte čo o trojuholníku viete:
Definícia symbolov ABC trojuholníka

Zadané strana a, b a c.

Pravouhlý rôznostranný Pytagorejský trojuholník.

Strany: a = 3   b = 4   c = 5

Obsah trojuholníka: S = 6
Obvod trojuholníka: o = 12
Semiperimeter (poloobvod): s = 6

Uhol ∠ A = α = 36.87698976458° = 36°52'12″ = 0.64435011088 rad
Uhol ∠ B = β = 53.13301023542° = 53°7'48″ = 0.9277295218 rad
Uhol ∠ C = γ = 90° = 1.57107963268 rad

Výška trojuholníka: va = 4
Výška trojuholníka: vb = 3
Výška trojuholníka: vc = 2.4

Ťažnica: ta = 4.27220018727
Ťažnica: tb = 3.60655512755
Ťažnica: tc = 2.5

Polomer vpísanej kružnice: r = 1
Polomer opísanej kružnice: R = 2.5

Súradnice vrcholov: A[5; 0] B[0; 0] C[1.8; 2.4]
Ťažisko: T[2.26766666667; 0.8]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[2.5; 0]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2; 1]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 143.13301023542° = 143°7'48″ = 0.64435011088 rad
∠ B' = β' = 126.87698976458° = 126°52'12″ = 0.9277295218 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1.57107963268 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník




Ako sme vypočítali tento trojuholník?

1. Zadané vstupné údaje: strana a, b a c.

a=3 b=4 c=5a = 3 \ \\ b = 4 \ \\ c = 5

2. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=3+4+5=12o = a+b+c = 3+4+5 = 12

3. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=o2=122=6s = \dfrac{ o }{ 2 } = \dfrac{ 12 }{ 2 } = 6

4. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=6(63)(64)(65) S=36=6S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 6(6-3)(6-4)(6-5) } \ \\ S = \sqrt{ 36 } = 6

5. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=ava2  va=2 Sa=2 63=4 vb=2 Sb=2 64=3 vc=2 Sc=2 65=2.4S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 6 }{ 3 } = 4 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 6 }{ 4 } = 3 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 6 }{ 5 } = 2.4

6. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(b2+c2a22bc)=arccos(42+52322 4 5)=365212"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(a2+c2b22ac)=arccos(32+52422 3 5)=53748" γ=180αβ=180365212"53748"=90a^2 = b^2+c^2 - 2bc \cos α \ \\ \ \\ α = \arccos(\dfrac{ b^2+c^2-a^2 }{ 2bc } ) = \arccos(\dfrac{ 4^2+5^2-3^2 }{ 2 \cdot \ 4 \cdot \ 5 } ) = 36^\circ 52'12" \ \\ \ \\ b^2 = a^2+c^2 - 2ac \cos β \ \\ β = \arccos(\dfrac{ a^2+c^2-b^2 }{ 2ac } ) = \arccos(\dfrac{ 3^2+5^2-4^2 }{ 2 \cdot \ 3 \cdot \ 5 } ) = 53^\circ 7'48" \ \\ γ = 180^\circ - α - β = 180^\circ - 36^\circ 52'12" - 53^\circ 7'48" = 90^\circ

7. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=Ss=66=1S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 6 }{ 6 } = 1

8. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=abc4 rs=3 4 54 1 6=2.5R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 3 \cdot \ 4 \cdot \ 5 }{ 4 \cdot \ 1 \cdot \ 6 } = 2.5

9. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=2b2+2c2a22=2 42+2 52322=4.272 tb=2c2+2a2b22=2 52+2 32422=3.606 tc=2a2+2b2c22=2 32+2 42522=2.5t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 4^2+2 \cdot \ 5^2 - 3^2 } }{ 2 } = 4.272 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 5^2+2 \cdot \ 3^2 - 4^2 } }{ 2 } = 3.606 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 3^2+2 \cdot \ 4^2 - 5^2 } }{ 2 } = 2.5

Vypočítať ďaľší trojuholník