Výpočet trojuholníka - výsledok

Prosím prosím zadajte čo o trojuholníku viete:
Definícia symbolov ABC trojuholníka

Zadané výška va, výška vb a výška vc.

Pravouhlý rôznostranný Pytagorejský trojuholník.

Strany: a = 165   b = 220   c = 275

Obsah trojuholníka: S = 18150
Obvod trojuholníka: o = 660
Semiperimeter (poloobvod): s = 330

Uhol ∠ A = α = 36.87698976458° = 36°52'12″ = 0.64435011088 rad
Uhol ∠ B = β = 53.13301023542° = 53°7'48″ = 0.9277295218 rad
Uhol ∠ C = γ = 90° = 1.57107963268 rad

Výška trojuholníka: va = 220
Výška trojuholníka: vb = 165
Výška trojuholníka: vc = 132

Ťažnica: ta = 234.96601029962
Ťažnica: tb = 198.30553201505
Ťažnica: tc = 137.5

Polomer vpísanej kružnice: r = 55
Polomer opísanej kružnice: R = 137.5

Súradnice vrcholov: A[275; 0] B[0; 0] C[99; 132]
Ťažisko: T[124.66766666667; 44]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[137.5; 0]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[110; 55]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 143.13301023542° = 143°7'48″ = 0.64435011088 rad
∠ B' = β' = 126.87698976458° = 126°52'12″ = 0.9277295218 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1.57107963268 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník




Ako sme vypočítali tento trojuholník?

1. Zadané vstupné údaje: výška va, výška vb a výška vc.

v_a = 220 ; ; v_b = 165 ; ; v_c = 132 ; ;

2. Z výšky va, výšky vb a výšky vc vypočítame obsah S:

h = fraction{ fraction{ 1 }{ v_a } + fraction{ 1 }{ v_b } + fraction{ 1 }{ v_c } }{ 2 } = (1 / 220 + 1 / 165 + 1 / 132) / 2 = 0.009 ; ; ; ; S_1 = 4 * sqrt{ h * (h - 1 / v_a) * (h - 1 / v_b) * (h - 1 / v_c) } ; ; ; ; S_1 = 4 * sqrt{ 0.009 * (0.009 - 1 / 220) * (0.009 - 1 / 165) * (0.009 - 1 / 132) } = 5.51 * 10**{ -5 } ; ; ; ; S = fraction{ 1 }{ S_1 } = fraction{ 1 }{ 5.51 * 10**{ -5 } } = 18150 ; ;

3. Z obsahu S a výšky va vypočítame stranu a:

S = fraction{ a v_a }{ 2 } ; ; ; ; a = fraction{ 2 S }{ v_a } = fraction{ 2 * 18150 }{ 220 } = 165 ; ;

4. Z obsahu S a výšky vb vypočítame stranu b:

S = fraction{ b v_b }{ 2 } ; ; ; ; b = fraction{ 2 S }{ v_b } = fraction{ 2 * 18150 }{ 165 } = 220 ; ;

5. Z obsahu S a výšky vc vypočítame stranu c:

S = fraction{ c v_c }{ 2 } ; ; ; ; c = fraction{ 2 S }{ v_c } = fraction{ 2 * 18150 }{ 132 } = 275 ; ;


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.

a = 165 ; ; b = 220 ; ; c = 275 ; ;

6. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a+b+c = 165+220+275 = 660 ; ;

7. Polovičný obvod trojuholníka

s = fraction{ o }{ 2 } = fraction{ 660 }{ 2 } = 330 ; ;

8. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

S = sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } ; ; S = sqrt{ 330 * (330-165)(330-220)(330-275) } ; ; S = sqrt{ 329422500 } = 18150 ; ;

9. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

S = fraction{ a v _a }{ 2 } ; ; v _a = fraction{ 2 S }{ a } = fraction{ 2 * 18150 }{ 165 } = 220 ; ; v _b = fraction{ 2 S }{ b } = fraction{ 2 * 18150 }{ 220 } = 165 ; ; v _c = fraction{ 2 S }{ c } = fraction{ 2 * 18150 }{ 275 } = 132 ; ;

10. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

a**2 = b**2+c**2 - 2bc cos alpha ; ; alpha = arccos( fraction{ b**2+c**2-a**2 }{ 2bc } ) = arccos( fraction{ 220**2+275**2-165**2 }{ 2 * 220 * 275 } ) = 36° 52'12" ; ; b**2 = a**2+c**2 - 2ac cos beta ; ; beta = arccos( fraction{ a**2+c**2-b**2 }{ 2ac } ) = arccos( fraction{ 165**2+275**2-220**2 }{ 2 * 165 * 275 } ) = 53° 7'48" ; ; gamma = 180° - alpha - beta = 180° - 36° 52'12" - 53° 7'48" = 90° ; ;

11. Polomer vpísanej kružnice

S = rs ; ; r = fraction{ S }{ s } = fraction{ 18150 }{ 330 } = 55 ; ;

12. Polomer opísanej kružnice

R = fraction{ a }{ 2 * sin alpha } = fraction{ 165 }{ 2 * sin 36° 52'12" } = 137.5 ; ;

13. Výpočet ťažníc

t_a = fraction{ sqrt{ 2 b**2+2c**2 - a**2 } }{ 2 } = fraction{ sqrt{ 2 * 220**2+2 * 275**2 - 165**2 } }{ 2 } = 234.96 ; ; t_b = fraction{ sqrt{ 2 c**2+2a**2 - b**2 } }{ 2 } = fraction{ sqrt{ 2 * 275**2+2 * 165**2 - 220**2 } }{ 2 } = 198.305 ; ; t_c = fraction{ sqrt{ 2 b**2+2a**2 - c**2 } }{ 2 } = fraction{ sqrt{ 2 * 220**2+2 * 165**2 - 275**2 } }{ 2 } = 137.5 ; ;
Vypočítať ďaľší trojuholník