Výpočet trojuholníka - výsledok

Prosím prosím zadajte čo o trojuholníku viete:
Definícia symbolov ABC trojuholníka

Zadané výška va, výška vb a výška vc.

Pravouhlý rôznostranný Pytagorejský trojuholník.

Strany: a = 165   b = 220   c = 275

Obsah trojuholníka: S = 18150
Obvod trojuholníka: o = 660
Semiperimeter (poloobvod): s = 330

Uhol ∠ A = α = 36.87698976458° = 36°52'12″ = 0.64435011088 rad
Uhol ∠ B = β = 53.13301023542° = 53°7'48″ = 0.9277295218 rad
Uhol ∠ C = γ = 90° = 1.57107963268 rad

Výška trojuholníka: va = 220
Výška trojuholníka: vb = 165
Výška trojuholníka: vc = 132

Ťažnica: ta = 234.96601029962
Ťažnica: tb = 198.30553201505
Ťažnica: tc = 137.5

Polomer vpísanej kružnice: r = 55
Polomer opísanej kružnice: R = 137.5

Súradnice vrcholov: A[275; 0] B[0; 0] C[99; 132]
Ťažisko: T[124.66766666667; 44]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[137.5; 0]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[110; 55]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 143.13301023542° = 143°7'48″ = 0.64435011088 rad
∠ B' = β' = 126.87698976458° = 126°52'12″ = 0.9277295218 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1.57107963268 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník




Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).

1. Zadané vstupné údaje: výška va, výška vb a výška vc.

va=220 vb=165 vc=132v_a = 220 \ \\ v_b = 165 \ \\ v_c = 132

2. Z výšky va, výšky vb a výšky vc vypočítame obsah S:

h=1va+1vb+1vc2=(1/220+1/165+1/132)/2=0.009  S1=4 h (h1/va) (h1/vb) (h1/vc)  S1=4 0.009 (0.0091/220) (0.0091/165) (0.0091/132)=5.51105  S=1S1=15.51105=18150h = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ v_a } + \dfrac{ 1 }{ v_b } + \dfrac{ 1 }{ v_c } }{ 2 } = (1 / 220 + 1 / 165 + 1 / 132) / 2 = 0.009 \ \\ \ \\ S_1 = 4 \cdot \ \sqrt{ h \cdot \ (h - 1 / v_a) \cdot \ (h - 1 / v_b) \cdot \ (h - 1 / v_c) } \ \\ \ \\ S_1 = 4 \cdot \ \sqrt{ 0.009 \cdot \ (0.009 - 1 / 220) \cdot \ (0.009 - 1 / 165) \cdot \ (0.009 - 1 / 132) } = 5.51 \cdot 10^{-5} \ \\ \ \\ S = \dfrac{ 1 }{ S_1 } = \dfrac{ 1 }{ 5.51 \cdot 10^{-5} } = 18150

3. Z obsahu S a výšky va vypočítame stranu a:

S=ava2  a=2 Sva=2 18150220=165S = \dfrac{ a v_a }{ 2 } \ \\ \ \\ a = \dfrac{ 2 \ S }{ v_a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 18150 }{ 220 } = 165

4. Z obsahu S a výšky vb vypočítame stranu b:

S=bvb2  b=2 Svb=2 18150165=220S = \dfrac{ b v_b }{ 2 } \ \\ \ \\ b = \dfrac{ 2 \ S }{ v_b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 18150 }{ 165 } = 220

5. Z obsahu S a výšky vc vypočítame stranu c:

S=cvc2  c=2 Svc=2 18150132=275S = \dfrac{ c v_c }{ 2 } \ \\ \ \\ c = \dfrac{ 2 \ S }{ v_c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 18150 }{ 132 } = 275

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.

a=165 b=220 c=275a = 165 \ \\ b = 220 \ \\ c = 275

6. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=165+220+275=660o = a+b+c = 165+220+275 = 660

7. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=o2=6602=330s = \dfrac{ o }{ 2 } = \dfrac{ 660 }{ 2 } = 330

8. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=330(330165)(330220)(330275) S=329422500=18150S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 330(330-165)(330-220)(330-275) } \ \\ S = \sqrt{ 329422500 } = 18150

9. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=ava2  va=2 Sa=2 18150165=220 vb=2 Sb=2 18150220=165 vc=2 Sc=2 18150275=132S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 18150 }{ 165 } = 220 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 18150 }{ 220 } = 165 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 18150 }{ 275 } = 132

10. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(b2+c2a22bc)=arccos(2202+275216522 220 275)=365212"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(a2+c2b22ac)=arccos(1652+275222022 165 275)=53748" γ=180αβ=180365212"53748"=90a^2 = b^2+c^2 - 2bc \cos α \ \\ \ \\ α = \arccos(\dfrac{ b^2+c^2-a^2 }{ 2bc } ) = \arccos(\dfrac{ 220^2+275^2-165^2 }{ 2 \cdot \ 220 \cdot \ 275 } ) = 36^\circ 52'12" \ \\ \ \\ b^2 = a^2+c^2 - 2ac \cos β \ \\ β = \arccos(\dfrac{ a^2+c^2-b^2 }{ 2ac } ) = \arccos(\dfrac{ 165^2+275^2-220^2 }{ 2 \cdot \ 165 \cdot \ 275 } ) = 53^\circ 7'48" \ \\ γ = 180^\circ - α - β = 180^\circ - 36^\circ 52'12" - 53^\circ 7'48" = 90^\circ

11. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=Ss=18150330=55S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 18150 }{ 330 } = 55

12. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=abc4 rs=165 220 2754 55 330=137.5R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 165 \cdot \ 220 \cdot \ 275 }{ 4 \cdot \ 55 \cdot \ 330 } = 137.5

13. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=2b2+2c2a22=2 2202+2 275216522=234.96 tb=2c2+2a2b22=2 2752+2 165222022=198.305 tc=2a2+2b2c22=2 1652+2 220227522=137.5t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 220^2+2 \cdot \ 275^2 - 165^2 } }{ 2 } = 234.96 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 275^2+2 \cdot \ 165^2 - 220^2 } }{ 2 } = 198.305 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 165^2+2 \cdot \ 220^2 - 275^2 } }{ 2 } = 137.5

Vypočítať ďaľší trojuholník