Nasledujúci ťah MO

V hre renju začínajúci hráč rozloží prvé tri kamene (čierny, biely a čierny) na priesečníky na doske, rozdelené 15 vodorovnými a 15 zvislými priamkami, tak, že vzniká 225 priesečníkov, s dodržaním nasledujúceho pravidla:

prvý kameň (čierny) musí byť v strede dosky
druhý kameň (biely) sa ho musí dotýkať (o políčko vedľa prvého v akomkoľvek smere)
tretí kameň (čierny) sa pokladá kamkoľvek - najďalej však 3 políčka od stredu dosky

Koľko existuje takýchto začatí?

Správna odpoveď:

n =  376

Postup správneho riešenia:

n=8 47=376



Našiel si chybu či nepresnosť? Prosím nám ju pošli.



Zobrazujem 1 komentár:
Dr. Math
- Doska: 15x15, teda 225 priesečníkov.
- Prvý kameň (čierny) musí byť v strede dosky. Stred dosky je na súradniciach (8,8) (ak číslujeme riadky a stĺpce od 1 do 15).
- Druhý kameň (biely) sa musí dotýkať prvého kamena. To znamená, že musí byť na jednom z 8 susedných priesečníkov (hore, dole, vpravo, vľavo alebo šikmo).
- Tretí kameň (čierny) sa pokladá kamkoľvek, ale najďalej 3 políčka od stredu dosky. To znamená, že jeho vzdialenosť od stredu (8,8) musí byť najviac 3.

Vzdialenosť:  
Dva body (x1,y1) a (x2,y2) majú vzdialenosť max(|x1-x2|, |y1-y2|).  
Tretí kameň musí spĺňať: max(|x-8|, |y-8|) ≤ 3.

Krok 1: Umiestnenie prvého kamena  
Prvý kameň je vždy na (8,8). Počet možností: 1.

Krok 2: Umiestnenie druhého kamena (biely)  
Musí byť na susednom priesečníku k (8,8). Susedné priesečníky sú:  
(7,7), (7,8), (7,9),  
(8,7),        (8,9),  
(9,7), (9,8), (9,9).  
Celkom 8 možností.

Krok 3: Umiestnenie tretieho kamena (čierny)  
Musí byť umiestnený na ľubovoľnom priesečníku s Chebyshevovou vzdialenosťou najviac 3 od stredu (8,8). To znamená, že súradnice (x,y) musia spĺňať:  
8-3 ≤ x ≤ 8+3, t.j. 5 ≤ x ≤ 11  
8-3 ≤ y ≤ 8+3, t.j. 5 ≤ y ≤ 11  
Toto je štvorec 7x7 (od riadku 5 do 11 a stĺpca 5 do 11), čo dáva 7*7 = 49 priesečníkov.

Avšak, už sú obsadené dva kamene: prvý na (8,8) a druhý na jednom z 8 susedných. Preto pre tretí kameň musíme vylúčiť tieto dva už obsadené priesečníky.

Počet voľných priesečníkov v štvorci 7x7 pre tretí kameň je teda 49 - 2 = 47.

Dôležité: Tretí kameň je čierny a môže byť umiestnený na ľubovoľný voľný priesečník v štvorci 7x7 (vrátane toho, že sa môže dotýkať iných kameňov, alebo byť ďalej). Jediné obmedzenie je vzdialenosť najviac 3 od stredu a že nesmie byť na už obsadenom mieste.

Celkový počet začatí:  
Pre každú z 8 možností umiestnenia druhého kamena máme 47 možností pre tretí kameň.  
Celkom: 8 * 47 = 376.





Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:

základné operácie a pojmytémaÚroveň náročnosti úlohy

Súvisiace a podobné príklady: