Solární elektrárna

Při výrobě solárních článků se vyrábějí 2% vadných článků. Předpokládejme, že články (buňky) jsou nezávislé a že panel obsahuje 800 buněk. Jaká je přibližná pravděpodobnost, že méně než 20 článků je vadných. (Odpověď s přesností na 3 desetinná místa).

Správná odpověď:

p =  0,814

Postup správného řešení:

C0(800)=(8000)=800!0!(8000)!=11=1 C1(800)=(8001)=800!1!(8001)!=8001=800 C2(800)=(8002)=800!2!(8002)!=80079921=319600 C3(800)=(8003)=800!3!(8003)!=800799798321=85013600 C4(800)=(8004)=800!4!(8004)!=8007997987974321=16938959800 C5(800)=(8005)=800!5!(8005)!=80079979879779654321=2696682400160 C6(800)=(8006)=800!6!(8006)!=800799798797796795654321=357310418021200 C7(800)=(8007)=800!7!(8007)!=8007997987977967957947654321=40529210272690400 C8(800)=(8008)=800!8!(8008)!=80079979879779679579479387654321=4017457968280435900 C9(800)=(8009)=800!9!(8009)!3.535×1020=353536301208678359200 C10(800)=(80010)=800!10!(80010)!2.796×1022=27964721425606458212720 C11(800)=(80011)=800!11!(80011)!2.008×1024=2008375447839009271640800 C12(800)=(80012)=800!12!(80012)!1.320×1026=132050685695414859610382600 C13(800)=(80013)=800!13!(80013)!8.004×1027=8004303102152839182537037600 C14(800)=(80014)=800!14!(80014)!4.499×1029=449956181528163174046903470800 C15(800)=(80015)=800!15!(80015)!2.357×1031=23577703912075750320057741869920 C16(800)=(80016)=800!16!(80016)!1.156×1033=1156781098186216500077832960492950 C17(800)=(80017)=800!17!(80017)!5.334×1034=53348022410470219768295355354498400 C18(800)=(80018)=800!18!(80018)!2.320×1036=2320638974855454559920847957920680400 C19(800)=(80019)=800!19!(80019)!9.551×1037=95512614649313971887268584373366951200 q=2%=2100=150=0.02 n=800 d=20  p0=(n0) q0 (1q)n0=1 0.020 (10.02)8000=9.5689108 p1=(n1) q1 (1q)n1=800 0.021 (10.02)80011.5623106 p2=(n2) q2 (1q)n2=319600 0.022 (10.02)80021.2737105 p3=(n3) q3 (1q)n3=85013600 0.023 (10.02)80030.0001 p4=(n4) q4 (1q)n4=16938959800 0.024 (10.02)80040.0003 p5=(n5) q5 (1q)n5=2696682400160 0.025 (10.02)80050.0009 p6=(n6) q6 (1q)n6=357310418021200 0.026 (10.02)80060.0025 p7=(n7) q7 (1q)n7=40529210272690400 0.027 (10.02)80070.0057 p8=(n8) q8 (1q)n8=4017457968280435900 0.028 (10.02)80080.0116 p9=(n9) q9 (1q)n9=353536301208678359200 0.029 (10.02)80090.0208 p10=(n10) q10 (1q)n10=27964721425606458212720 0.0210 (10.02)800100.0335 p11=(n11) q11 (1q)n11=2008375447839009271640800 0.0211 (10.02)800110.0492 p12=(n12) q12 (1q)n12=132050685695414859610382600 0.0212 (10.02)800120.066 p13=(n13) q13 (1q)n13=8004303102152839182537037600 0.0213 (10.02)800130.0816 p14=(n14) q14 (1q)n14=449956181528163174046903470800 0.0214 (10.02)800140.0936 p15=(n15) q15 (1q)n15=23577703912075750320057741869920 0.0215 (10.02)800150.1001 p16=(n16) q16 (1q)n16=1156781098186216500077832960492950 0.0216 (10.02)800160.1002 p17=(n17) q17 (1q)n17=53348022410470219768295355354498400 0.0217 (10.02)800170.0943 p18=(n18) q18 (1q)n18=2320638974855454559920847957920680400 0.0218 (10.02)800180.0837 p19=(n19) q19 (1q)n19=95512614649313971887268584373366951200 0.0219 (10.02)800190.0703  p=p0+p1+p2+p3+p4+p5+p6+p7+p8+p9+p10+p11+p12+p13+p14+p15+p16+p17+p18+p19=9.5689108+1.5623106+1.2737105+0.0001+0.0003+0.0009+0.0025+0.0057+0.0116+0.0208+0.0335+0.0492+0.066+0.0816+0.0936+0.1001+0.1002+0.0943+0.0837+0.0703=0.814C_{{ 0}}(800) = \dbinom{ 800}{ 0} = \dfrac{ 800! }{ 0!(800-0)!} = \dfrac{ 1 } { 1 } = 1 \ \\ C_{{ 1}}(800) = \dbinom{ 800}{ 1} = \dfrac{ 800! }{ 1!(800-1)!} = \dfrac{ 800 } { 1 } = 800 \ \\ C_{{ 2}}(800) = \dbinom{ 800}{ 2} = \dfrac{ 800! }{ 2!(800-2)!} = \dfrac{ 800 \cdot 799 } { 2 \cdot 1 } = 319600 \ \\ C_{{ 3}}(800) = \dbinom{ 800}{ 3} = \dfrac{ 800! }{ 3!(800-3)!} = \dfrac{ 800 \cdot 799 \cdot 798 } { 3 \cdot 2 \cdot 1 } = 85013600 \ \\ C_{{ 4}}(800) = \dbinom{ 800}{ 4} = \dfrac{ 800! }{ 4!(800-4)!} = \dfrac{ 800 \cdot 799 \cdot 798 \cdot 797 } { 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 } = 16938959800 \ \\ C_{{ 5}}(800) = \dbinom{ 800}{ 5} = \dfrac{ 800! }{ 5!(800-5)!} = \dfrac{ 800 \cdot 799 \cdot 798 \cdot 797 \cdot 796 } { 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 } = 2696682400160 \ \\ C_{{ 6}}(800) = \dbinom{ 800}{ 6} = \dfrac{ 800! }{ 6!(800-6)!} = \dfrac{ 800 \cdot 799 \cdot 798 \cdot 797 \cdot 796 \cdot 795 } { 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 } = 357310418021200 \ \\ C_{{ 7}}(800) = \dbinom{ 800}{ 7} = \dfrac{ 800! }{ 7!(800-7)!} = \dfrac{ 800 \cdot 799 \cdot 798 \cdot 797 \cdot 796 \cdot 795 \cdot 794 } { 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 } = 40529210272690400 \ \\ C_{{ 8}}(800) = \dbinom{ 800}{ 8} = \dfrac{ 800! }{ 8!(800-8)!} = \dfrac{ 800 \cdot 799 \cdot 798 \cdot 797 \cdot 796 \cdot 795 \cdot 794 \cdot 793 } { 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 } = 4017457968280435900 \ \\ C_{{ 9}}(800) = \dbinom{ 800}{ 9} = \dfrac{ 800! }{ 9!(800-9)!} \approx 3.535\times 10^{ 20 } = 353536301208678359200 \ \\ C_{{ 10}}(800) = \dbinom{ 800}{ 10} = \dfrac{ 800! }{ 10!(800-10)!} \approx 2.796\times 10^{ 22 } = 27964721425606458212720 \ \\ C_{{ 11}}(800) = \dbinom{ 800}{ 11} = \dfrac{ 800! }{ 11!(800-11)!} \approx 2.008\times 10^{ 24 } = 2008375447839009271640800 \ \\ C_{{ 12}}(800) = \dbinom{ 800}{ 12} = \dfrac{ 800! }{ 12!(800-12)!} \approx 1.320\times 10^{ 26 } = 132050685695414859610382600 \ \\ C_{{ 13}}(800) = \dbinom{ 800}{ 13} = \dfrac{ 800! }{ 13!(800-13)!} \approx 8.004\times 10^{ 27 } = 8004303102152839182537037600 \ \\ C_{{ 14}}(800) = \dbinom{ 800}{ 14} = \dfrac{ 800! }{ 14!(800-14)!} \approx 4.499\times 10^{ 29 } = 449956181528163174046903470800 \ \\ C_{{ 15}}(800) = \dbinom{ 800}{ 15} = \dfrac{ 800! }{ 15!(800-15)!} \approx 2.357\times 10^{ 31 } = 23577703912075750320057741869920 \ \\ C_{{ 16}}(800) = \dbinom{ 800}{ 16} = \dfrac{ 800! }{ 16!(800-16)!} \approx 1.156\times 10^{ 33 } = 1156781098186216500077832960492950 \ \\ C_{{ 17}}(800) = \dbinom{ 800}{ 17} = \dfrac{ 800! }{ 17!(800-17)!} \approx 5.334\times 10^{ 34 } = 53348022410470219768295355354498400 \ \\ C_{{ 18}}(800) = \dbinom{ 800}{ 18} = \dfrac{ 800! }{ 18!(800-18)!} \approx 2.320\times 10^{ 36 } = 2320638974855454559920847957920680400 \ \\ C_{{ 19}}(800) = \dbinom{ 800}{ 19} = \dfrac{ 800! }{ 19!(800-19)!} \approx 9.551\times 10^{ 37 } = 95512614649313971887268584373366951200 \ \\ q = 2 \% = \dfrac{ 2 }{ 100 } = \dfrac{ 1 }{ 50 } = 0.02 \ \\ n = 800 \ \\ d = 20 \ \\ \ \\ p_{0} = { { n } \choose 0 } \cdot \ q^0 \cdot \ (1-q)^{ n-0 } = 1 \cdot \ 0.02^0 \cdot \ (1-0.02)^{ 800-0 } = 9.5689\cdot 10^{ -8 } \ \\ p_{1} = { { n } \choose 1 } \cdot \ q^1 \cdot \ (1-q)^{ n-1 } = 800 \cdot \ 0.02^1 \cdot \ (1-0.02)^{ 800-1 } \doteq 1.5623\cdot 10^{ -6 } \ \\ p_{2} = { { n } \choose 2 } \cdot \ q^2 \cdot \ (1-q)^{ n-2 } = 319600 \cdot \ 0.02^2 \cdot \ (1-0.02)^{ 800-2 } \doteq 1.2737\cdot 10^{ -5 } \ \\ p_{3} = { { n } \choose 3 } \cdot \ q^3 \cdot \ (1-q)^{ n-3 } = 85013600 \cdot \ 0.02^3 \cdot \ (1-0.02)^{ 800-3 } \doteq 0.0001 \ \\ p_{4} = { { n } \choose 4 } \cdot \ q^4 \cdot \ (1-q)^{ n-4 } = 16938959800 \cdot \ 0.02^4 \cdot \ (1-0.02)^{ 800-4 } \doteq 0.0003 \ \\ p_{5} = { { n } \choose 5 } \cdot \ q^5 \cdot \ (1-q)^{ n-5 } = 2696682400160 \cdot \ 0.02^5 \cdot \ (1-0.02)^{ 800-5 } \doteq 0.0009 \ \\ p_{6} = { { n } \choose 6 } \cdot \ q^6 \cdot \ (1-q)^{ n-6 } = 357310418021200 \cdot \ 0.02^6 \cdot \ (1-0.02)^{ 800-6 } \doteq 0.0025 \ \\ p_{7} = { { n } \choose 7 } \cdot \ q^7 \cdot \ (1-q)^{ n-7 } = 40529210272690400 \cdot \ 0.02^7 \cdot \ (1-0.02)^{ 800-7 } \doteq 0.0057 \ \\ p_{8} = { { n } \choose 8 } \cdot \ q^8 \cdot \ (1-q)^{ n-8 } = 4017457968280435900 \cdot \ 0.02^8 \cdot \ (1-0.02)^{ 800-8 } \doteq 0.0116 \ \\ p_{9} = { { n } \choose 9 } \cdot \ q^9 \cdot \ (1-q)^{ n-9 } = 353536301208678359200 \cdot \ 0.02^9 \cdot \ (1-0.02)^{ 800-9 } \doteq 0.0208 \ \\ p_{10} = { { n } \choose 10 } \cdot \ q^{10} \cdot \ (1-q)^{ n-10 } = 27964721425606458212720 \cdot \ 0.02^{10} \cdot \ (1-0.02)^{ 800-10 } \doteq 0.0335 \ \\ p_{11} = { { n } \choose 11 } \cdot \ q^{11} \cdot \ (1-q)^{ n-11 } = 2008375447839009271640800 \cdot \ 0.02^{11} \cdot \ (1-0.02)^{ 800-11 } \doteq 0.0492 \ \\ p_{12} = { { n } \choose 12 } \cdot \ q^{12} \cdot \ (1-q)^{ n-12 } = 132050685695414859610382600 \cdot \ 0.02^{12} \cdot \ (1-0.02)^{ 800-12 } \doteq 0.066 \ \\ p_{13} = { { n } \choose 13 } \cdot \ q^{13} \cdot \ (1-q)^{ n-13 } = 8004303102152839182537037600 \cdot \ 0.02^{13} \cdot \ (1-0.02)^{ 800-13 } \doteq 0.0816 \ \\ p_{14} = { { n } \choose 14 } \cdot \ q^{14} \cdot \ (1-q)^{ n-14 } = 449956181528163174046903470800 \cdot \ 0.02^{14} \cdot \ (1-0.02)^{ 800-14 } \doteq 0.0936 \ \\ p_{15} = { { n } \choose 15 } \cdot \ q^{15} \cdot \ (1-q)^{ n-15 } = 23577703912075750320057741869920 \cdot \ 0.02^{15} \cdot \ (1-0.02)^{ 800-15 } \doteq 0.1001 \ \\ p_{16} = { { n } \choose 16 } \cdot \ q^{16} \cdot \ (1-q)^{ n-16 } = 1156781098186216500077832960492950 \cdot \ 0.02^{16} \cdot \ (1-0.02)^{ 800-16 } \doteq 0.1002 \ \\ p_{17} = { { n } \choose 17 } \cdot \ q^{17} \cdot \ (1-q)^{ n-17 } = 53348022410470219768295355354498400 \cdot \ 0.02^{17} \cdot \ (1-0.02)^{ 800-17 } \doteq 0.0943 \ \\ p_{18} = { { n } \choose 18 } \cdot \ q^{18} \cdot \ (1-q)^{ n-18 } = 2320638974855454559920847957920680400 \cdot \ 0.02^{18} \cdot \ (1-0.02)^{ 800-18 } \doteq 0.0837 \ \\ p_{19} = { { n } \choose 19 } \cdot \ q^{19} \cdot \ (1-q)^{ n-19 } = 95512614649313971887268584373366951200 \cdot \ 0.02^{19} \cdot \ (1-0.02)^{ 800-19 } \doteq 0.0703 \ \\ \ \\ p = p_{0} + p_{1} + p_{2} + p_{3} + p_{4} + p_{5} + p_{6} + p_{7} + p_{8} + p_{9} + p_{10} + p_{11} + p_{12} + p_{13} + p_{14} + p_{15} + p_{16} + p_{17} + p_{18} + p_{19} = 9.5689\cdot 10^{ -8 } + 1.5623\cdot 10^{ -6 } + 1.2737\cdot 10^{ -5 } + 0.0001 + 0.0003 + 0.0009 + 0.0025 + 0.0057 + 0.0116 + 0.0208 + 0.0335 + 0.0492 + 0.066 + 0.0816 + 0.0936 + 0.1001 + 0.1002 + 0.0943 + 0.0837 + 0.0703 = 0.814



Našel jsi chybu či nepřesnost? Klidně nám ji napiš.







Tipy na související online kalkulačky
Hledáte statistickou kalkulačku?
Chceš si dát spočítat kombinační číslo?

K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:

statistikakombinatorikaÚroveň náročnosti úkolu

Související a podobné příklady: