Pravděpodobností 45201

Ve volbách stranu Z volilo 2400000 voličů z celkového počtu 6000000 voličů. Vyberme náhodně tři voliče a uvažujme náhodnou veličinu ξ={počet voličů strany Z ve výběru ze tří voličů}. Určete
a) rozdělení pravděpodobností, distribuční funkci F(x) a P(0,8< ξ <3,7),
b) směrodatnou odchylku náhodné veličiny ξ.

Správná odpověď:

x =  0,784
s =  0,8485

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} n=3 \\ p=\frac{2400000}{6000000}=\frac{2}{5}=0,4 \\ {p}_0=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)\cdot p^0\cdot (1-p{)}^{n-0}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{0})\cdot 0,4^0\cdot (1-0,4{)}^{3-0}=1\cdot 0,4^0\cdot 0,6^3=\frac{27}{125}=0,216 \\ {p}_1=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)\cdot p^1\cdot (1-p{)}^{n-1}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1})\cdot 0,4^1\cdot (1-0,4{)}^{3-1}=3\cdot 0,4^1\cdot 0,6^2=\frac{54}{125}=0,432 \\ {p}_2=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)\cdot p^2\cdot (1-p{)}^{n-2}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2})\cdot 0,4^2\cdot (1-0,4{)}^{3-2}=3\cdot 0,4^2\cdot 0,6^1=\frac{36}{125}=0,288 \\ {p}_3=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}\right)\cdot p^3\cdot (1-p{)}^{n-3}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3})\cdot 0,4^3\cdot (1-0,4{)}^{3-3}=1\cdot 0,4^3\cdot 0,6^0=\frac{8}{125}=0,064 \\ x=p_1+p_2+p_3=\frac{54}{125}+\frac{36}{125}+\frac{8}{125}=\frac{54+36+8}{125}=\frac{98}{125}=0,784 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} R=n\cdot p\cdot (1-p)=3\cdot \frac{2}{5}\cdot (1-\frac{2}{5})=\frac{18}{25}=0,72 \\ s=\sqrt{R}=\sqrt{0,72}=0,8485 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad