Dostali

Dostali jsme za úkol házet hrací kostkou tak dlouho, dokud nám nepadne "šestka".

a) Určete střední počet hodů, které budeme pro splnění úkolu muset učinit.

b) Kolikrát musíme kostkou hodit, aby pravděpodobnost pádu alespoň jedné "šestky" byla alespoň 90 %

Správná odpověď:

a =  6
s =  13

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} p_1=\frac{1}{6}\doteq 0,1667 \\ a=1/p_1=1/0,1667=6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} p_n>0,9 \\ {p}_2=p_1+(1-p_1{)}^1\cdot p_1=0,1667+(1-0,1667{)}^1\cdot 0,1667=\frac{11}{36}\doteq 0,3056 \\ {p}_3=p_2+(1-p_1{)}^2\cdot p_1=0,3056+(1-0,1667{)}^2\cdot 0,1667=\frac{91}{216}\doteq 0,4213 \\ {p}_4=p_3+(1-p_1{)}^3\cdot p_1=0,4213+(1-0,1667{)}^3\cdot 0,1667=\frac{671}{1296}\doteq 0,5177 \\ {p}_5=p_4+(1-p_1{)}^4\cdot p_1=0,5177+(1-0,1667{)}^4\cdot 0,1667\doteq 0,5981 \\ {p}_6=p_5+(1-p_1{)}^5\cdot p_1=0,5981+(1-0,1667{)}^5\cdot 0,1667\doteq 0,6651 \\ {p}_7=p_6+(1-p_1{)}^6\cdot p_1=0,6651+(1-0,1667{)}^6\cdot 0,1667\doteq 0,7209 \\ {p}_8=p_7+(1-p_1{)}^7\cdot p_1=0,7209+(1-0,1667{)}^7\cdot 0,1667\doteq 0,7674 \\ {p}_9=p_8+(1-p_1{)}^8\cdot p_1=0,7674+(1-0,1667{)}^8\cdot 0,1667\doteq 0,8062 \\ {p}_{10}=p_9+(1-p_1{)}^9\cdot p_1=0,8062+(1-0,1667{)}^9\cdot 0,1667\doteq 0,8385 \\ {p}_{11}=p_{10}+(1-p_1{)}^{10}\cdot p_1=0,8385+(1-0,1667{)}^{10}\cdot 0,1667\doteq 0,8654 \\ {p}_{12}=p_{11}+(1-p_1{)}^{11}\cdot p_1=0,8654+(1-0,1667{)}^{11}\cdot 0,1667\doteq 0,8878 \\ {p}_{13}=p_{12}+(1-p_1{)}^{12}\cdot p_1=0,8878+(1-0,1667{)}^{12}\cdot 0,1667\doteq 0,9065 \\ {p}_{11}>0,90 \\ s=13 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad