Dálniční úsek

Osobní auto projelo dálniční úsek stálou rychlostí. Při rychlosti o 20 km/h vyšší by mu jízda trvala o 6 minut kratší, při rychlosti o 20 km/h nižší o 9 minut více. Vypočítej délku dálničního úseku.

Správná odpověď:

x =  60 km

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} \Delta =20\text{km/h} \\ {t}_1=6\text{min}\to \text{h}=6:60\text{h}=0,1\text{h} \\ {t}_2=9\text{min}\to \text{h}=9:60\text{h}=0,15\text{h} \\ x=v\cdot t \\ x=(v+\Delta )\cdot (t-t_1) \\ x=(v-\Delta )\cdot (t+t_2) \\ v\cdot t=(v+\Delta )\cdot (t-t_1) \\ v\cdot t=(v-\Delta )\cdot (t+t_2) \\ v\cdot t=vt+\Delta t-t_{1}v-t_1\Delta \\ v\cdot t=vt-\Delta t+t_{2}v-t_2\Delta \\ 0=\Delta \cdot t-t_1\cdot v-t_1\cdot \Delta \\ 0=-\Delta \cdot t+t_2\cdot v-t_2\cdot \Delta \\ 0=20\cdot t-0,1\cdot v-0,1\cdot 20 \\ 0=-20\cdot t+0,15\cdot v-0,15\cdot 20 \\ 20t-0,1v=2 \\ 20t-0,15v=-3 \\ \check{R}\acute{a}dek2-\check{R}\acute{a}dek1\to \check{R}\acute{a}dek2 \\ -0,05v=-5 \\ v=\frac{-5}{-0,05}=100 \\ t=\frac{2+0,1v}{20}=\frac{2+0,1\cdot 100}{20}=0,6 \\ t=\frac{3}{5}=0,6 \\ v=100 \\ x=v\cdot t=100\cdot 0,6=60\text{km} \\ \text{ Zkousˇka spraˊvnosti: } \\ {v}_2=v+\Delta =100+20=120\text{km/h} \\ {v}_3=v-\Delta =100-20=80\text{km/h} \\ {s}_1=v\cdot t=100\cdot 0,6=60\text{km} \\ {s}_2=v_2\cdot (t-t_1)=120\cdot (0,6-0,1)=60\text{km} \\ {s}_3=v_3\cdot (t+t_2)=80\cdot (0,6+0,15)=60\text{km} \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad