Výpočet trojuholníka - výsledok

Zadané strana b, uhol α a uhol β.

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 14,97325484853
b = 13
c = 11,51992819451

Obsah trojuholníka: S = 72,32440175519
Obvod trojuholníka: o = 39,49218304304
Semiperimeter (poloobvod): s = 19,74659152152

Uhol ∠ A = α = 75° = 1,3098996939 rad
Uhol ∠ B = β = 57° = 0,99548376736 rad
Uhol ∠ C = γ = 48° = 0,8387758041 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 9,66108827312
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 11,12767719311
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 12,55770357418

Ťažnica: t_a = 9,73766640195
Ťažnica: t_b = 11,67698557119
Ťažnica: t_c = 12,78333931309

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,66327331154
Polomer opísanej kružnice: R = 7,75503614034

Súradnice vrcholov: A[11,51992819451; 0] B[0; 0] C[8,15546343588; 12,55770357418]
Ťažisko: T[6,55879721013; 4,18656785806]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,76596409725; 5,18660040254]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,74659152152; 3,66327331154]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 105° = 1,3098996939 rad
∠ B' = β' = 123° = 0,99548376736 rad
∠ C' = γ' = 132° = 0,8387758041 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).

1. Zadané vstupné údaje: strana b, uhol α a uhol β.

b = 13 α = 75 ° β = 57 °

2. Z úhla α a úhla β vypočítame uhol γ:

α + β + γ = 180 ° γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 75 ° - 57 ° = 48 °

3. Z úhla α, úhla β a strany b vypočítame stranu a - Použitím sínusovej vety vypočítame neznámu stranu a:

\frac{a}{b} = \frac{sin α}{sin β} a = b \cdot \frac{sin α}{sin β} a = 13 \cdot \frac{sin 7 5 °}{sin 5 7 °} = 14, 97

4. Dopočet tretej strany c trojuholníka pomocou kosínusovej vety

c^{2} = b^{2} + a^{2} - 2 b a cos γ c = b^{2} + a^{2} - 2 b a cos γ c = 1 3^{2} + 14, 9 7^{2} - 2 \cdot 13 \cdot 14, 97 \cdot cos 48 ° c = 11, 52

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.

a = 14, 97 b = 13 c = 11, 52

5. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 14, 97 + 13 + 11, 52 = 39, 49

6. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 9 , 4 9}{2} = 19, 75

7. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 19, 75 (19, 75 - 14, 97) (19, 75 - 13) (19, 75 - 11, 52) S = 5230, 76 = 72, 32

8. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 2 , 3 2}{1 4 , 9 7} = 9, 66 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 2 , 3 2}{1 3} = 11, 13 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 2 , 3 2}{1 1 , 5 2} = 12, 56

9. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 1 1 , 5 2 ^{2} - 1 4 , 9 7 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 1 1 , 5 2}) = 75 ° b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 4 , 9 7 ^{2} + 1 1 , 5 2 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 4 , 9 7 \cdot 1 1 , 5 2}) = 57 ° γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 75 ° - 57 ° = 48 °

10. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 2 , 3 2}{1 9 , 7 5} = 3, 66

11. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 4 , 9 7 \cdot 1 3 \cdot 1 1 , 5 2}{4 \cdot 3 , 6 6 3 \cdot 1 9 , 7 4 6} = 7, 75

12. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 1 , 5 2 ^{2} - 1 4 , 9 7 ^{2}}{2} = 9, 737 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 , 5 2 ^{2} + 2 \cdot 1 4 , 9 7 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 11, 67 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 , 9 7 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 1 , 5 2 ^{2}}{2} = 12, 783

Vypočítať ďaľší trojuholník