Výpočet trojuholníka - výsledok

Prosím prosím zadajte čo o trojuholníku viete:
Definícia symbolov ABC trojuholníka

Zadané strana a, ťažnica tc a uhol β.

Trojuholník má dve riešenia: a=7; b=4.61096016282; c=6.36437138795 a a=7; b=10.71438515788; c=15.08655305278.

#1 Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 7   b = 4.61096016282   c = 6.36437138795

Obsah trojuholníka: S = 14.31768075168
Obvod trojuholníka: o = 17.97333155077
Semiperimeter (poloobvod): s = 8.98766577539

Uhol ∠ A = α = 77.45328590336° = 77°27'10″ = 1.35218074052 rad
Uhol ∠ B = β = 40° = 0.69881317008 rad
Uhol ∠ C = γ = 62.54771409664° = 62°32'50″ = 1.09216535476 rad

Výška trojuholníka: va = 4.09105164334
Výška trojuholníka: vb = 6.21217331048
Výška trojuholníka: vc = 4.54995132678

Ťažnica: ta = 4.3155395782
Ťažnica: tb = 6.28798344228
Ťažnica: tc = 5

Polomer vpísanej kružnice: r = 1.59331181435
Polomer opísanej kružnice: R = 3.58656335426

Súradnice vrcholov: A[6.36437138795; 0] B[0; 0] C[5.36223111018; 4.54995132678]
Ťažisko: T[3.90986749938; 1.54998377559]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3.18218569398; 1.65330439549]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4.37770561257; 1.59331181435]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 102.54771409664° = 102°32'50″ = 1.35218074052 rad
∠ B' = β' = 140° = 0.69881317008 rad
∠ C' = γ' = 117.45328590336° = 117°27'10″ = 1.09216535476 rad




Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).

1. Zadané vstupné údaje: strana a, uhol β a ťažnica tc.

a=7 β=40 tc=5a = 7 \ \\ β = 40^\circ \ \\ t_c = 5

2. Zo strany a a úhla β vypočítame výšku vc:

vc=a sinβ=7 sin40=4.5v_c = a \cdot \ \sin β = 7 \cdot \ \sin 40^\circ = 4.5

3. Zo strany a, úhla β a ťažnice tc vypočítame stranu c:

x=c/2 x22 acosβ+a2tc2=0 x210.725x+24=0  a=1;b=10.725;c=24 D=b24ac=10.72524124=19.0175214114 D>0  x1,2=b±D2a=10.72±19.022 x1,2=5.3623111±2.1804541620589 x1=7.5427652638917 x2=3.181856939774   Sucinovy tvar rovnice:  (x7.5427652638917)(x3.181856939774)=0   c1=2 x1=15.086 c2=2 x2=6.364x = c/2 \ \\ x^2 - 2 \ a \cos β + a^2 - t_c^2 = 0 \ \\ x^2 -10.725x +24 =0 \ \\ \ \\ a=1; b=-10.725; c=24 \ \\ D = b^2 - 4ac = 10.725^2 - 4\cdot 1 \cdot 24 = 19.0175214114 \ \\ D>0 \ \\ \ \\ x_{1,2} = \dfrac{ -b \pm \sqrt{ D } }{ 2a } = \dfrac{ 10.72 \pm \sqrt{ 19.02 } }{ 2 } \ \\ x_{1,2} = 5.3623111 \pm 2.1804541620589 \ \\ x_{1} = 7.5427652638917 \ \\ x_{2} = 3.181856939774 \ \\ \ \\ \text{ Sucinovy tvar rovnice: } \ \\ (x -7.5427652638917) (x -3.181856939774) = 0 \ \\ \ \\ \ \\ c_1 = 2 \cdot \ x_1 = 15.086 \ \\ c_2 = 2 \cdot \ x_2 = 6.364

4. Dopočet tretej strany b trojuholníka pomocou kosínusovej vety

b2=a2+c22accosβ b=a2+c22accosβ b=72+15.0922 7 15.09 cos40 b=10.71b^2 = a^2+c^2 - 2ac \cos β \ \\ b = \sqrt{ a^2+c^2 - 2ac \cos β } \ \\ b = \sqrt{ 7^2+15.09^2 - 2 \cdot \ 7 \cdot \ 15.09 \cdot \ \cos 40^\circ } \ \\ b = 10.71

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.

a=7 b=4.61 c=6.36a = 7 \ \\ b = 4.61 \ \\ c = 6.36

5. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=7+4.61+6.36=17.97o = a+b+c = 7+4.61+6.36 = 17.97

6. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=o2=17.972=8.99s = \dfrac{ o }{ 2 } = \dfrac{ 17.97 }{ 2 } = 8.99

7. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=8.99(8.997)(8.994.61)(8.996.36) S=204.97=14.32S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 8.99(8.99-7)(8.99-4.61)(8.99-6.36) } \ \\ S = \sqrt{ 204.97 } = 14.32

8. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=ava2  va=2 Sa=2 14.327=4.09 vb=2 Sb=2 14.324.61=6.21 vc=2 Sc=2 14.326.36=4.5S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 14.32 }{ 7 } = 4.09 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 14.32 }{ 4.61 } = 6.21 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 14.32 }{ 6.36 } = 4.5

9. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(b2+c2a22bc)=arccos(4.612+6.362722 4.61 6.36)=772710"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(a2+c2b22ac)=arccos(72+6.3624.6122 7 6.36)=40 γ=180αβ=180772710"40=623250"a^2 = b^2+c^2 - 2bc \cos α \ \\ \ \\ α = \arccos(\dfrac{ b^2+c^2-a^2 }{ 2bc } ) = \arccos(\dfrac{ 4.61^2+6.36^2-7^2 }{ 2 \cdot \ 4.61 \cdot \ 6.36 } ) = 77^\circ 27'10" \ \\ \ \\ b^2 = a^2+c^2 - 2ac \cos β \ \\ β = \arccos(\dfrac{ a^2+c^2-b^2 }{ 2ac } ) = \arccos(\dfrac{ 7^2+6.36^2-4.61^2 }{ 2 \cdot \ 7 \cdot \ 6.36 } ) = 40^\circ \ \\ γ = 180^\circ - α - β = 180^\circ - 77^\circ 27'10" - 40^\circ = 62^\circ 32'50"

10. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=Ss=14.328.99=1.59S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 14.32 }{ 8.99 } = 1.59

11. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=abc4 rs=7 4.61 6.364 1.593 8.987=3.59R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 7 \cdot \ 4.61 \cdot \ 6.36 }{ 4 \cdot \ 1.593 \cdot \ 8.987 } = 3.59

12. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=2b2+2c2a22=2 4.612+2 6.362722=4.315 tb=2c2+2a2b22=2 6.362+2 724.6122=6.28 tc=2a2+2b2c22=2 72+2 4.6126.3622=5t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 4.61^2+2 \cdot \ 6.36^2 - 7^2 } }{ 2 } = 4.315 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 6.36^2+2 \cdot \ 7^2 - 4.61^2 } }{ 2 } = 6.28 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 7^2+2 \cdot \ 4.61^2 - 6.36^2 } }{ 2 } = 5





#2 Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 7   b = 10.71438515788   c = 15.08655305278

Obsah trojuholníka: S = 33.93987723808
Obvod trojuholníka: o = 32.79993821066
Semiperimeter (poloobvod): s = 16.43996910533

Uhol ∠ A = α = 24.8332793774° = 24°49'58″ = 0.43334140138 rad
Uhol ∠ B = β = 40° = 0.69881317008 rad
Uhol ∠ C = γ = 115.1677206226° = 115°10'2″ = 2.0110046939 rad

Výška trojuholníka: va = 9.69767921088
Výška trojuholníka: vb = 6.3355494221
Výška trojuholníka: vc = 4.54995132678

Ťažnica: ta = 12.60767411919
Ťažnica: tb = 10.46985224239
Ťažnica: tc = 5

Polomer vpísanej kružnice: r = 2.06994763255
Polomer opísanej kružnice: R = 8.33438970893

Súradnice vrcholov: A[15.08655305278; 0] B[0; 0] C[5.36223111018; 4.54995132678]
Ťažisko: T[6.81659472099; 1.54998377559]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7.54327652639; -3.54440842073]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5.68658394745; 2.06994763255]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 155.1677206226° = 155°10'2″ = 0.43334140138 rad
∠ B' = β' = 140° = 0.69881317008 rad
∠ C' = γ' = 64.8332793774° = 64°49'58″ = 2.0110046939 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).

1. Zadané vstupné údaje: strana a, uhol β a ťažnica tc.

a=7 β=40 tc=5a = 7 \ \\ β = 40^\circ \ \\ t_c = 5

2. Zo strany a a úhla β vypočítame výšku vc:

vc=a sinβ=7 sin40=4.5v_c = a \cdot \ \sin β = 7 \cdot \ \sin 40^\circ = 4.5

3. Zo strany a, úhla β a ťažnice tc vypočítame stranu c:

x=c/2 x22 acosβ+a2tc2=0 x210.725x+24=0  a=1;b=10.725;c=24 D=b24ac=10.72524124=19.0175214114 D>0  x1,2=b±D2a=10.72±19.022 x1,2=5.3623111±2.1804541620589 x1=7.5427652638917 x2=3.181856939774   Sucinovy tvar rovnice:  (x7.5427652638917)(x3.181856939774)=0   c1=2 x1=15.086 c2=2 x2=6.364x = c/2 \ \\ x^2 - 2 \ a \cos β + a^2 - t_c^2 = 0 \ \\ x^2 -10.725x +24 =0 \ \\ \ \\ a=1; b=-10.725; c=24 \ \\ D = b^2 - 4ac = 10.725^2 - 4\cdot 1 \cdot 24 = 19.0175214114 \ \\ D>0 \ \\ \ \\ x_{1,2} = \dfrac{ -b \pm \sqrt{ D } }{ 2a } = \dfrac{ 10.72 \pm \sqrt{ 19.02 } }{ 2 } \ \\ x_{1,2} = 5.3623111 \pm 2.1804541620589 \ \\ x_{1} = 7.5427652638917 \ \\ x_{2} = 3.181856939774 \ \\ \ \\ \text{ Sucinovy tvar rovnice: } \ \\ (x -7.5427652638917) (x -3.181856939774) = 0 \ \\ \ \\ \ \\ c_1 = 2 \cdot \ x_1 = 15.086 \ \\ c_2 = 2 \cdot \ x_2 = 6.364

4. Dopočet tretej strany b trojuholníka pomocou kosínusovej vety

b2=a2+c22accosβ b=a2+c22accosβ b=72+15.0922 7 15.09 cos40 b=10.71b^2 = a^2+c^2 - 2ac \cos β \ \\ b = \sqrt{ a^2+c^2 - 2ac \cos β } \ \\ b = \sqrt{ 7^2+15.09^2 - 2 \cdot \ 7 \cdot \ 15.09 \cdot \ \cos 40^\circ } \ \\ b = 10.71

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.

a=7 b=10.71 c=15.09a = 7 \ \\ b = 10.71 \ \\ c = 15.09

5. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=7+10.71+15.09=32.8o = a+b+c = 7+10.71+15.09 = 32.8

6. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=o2=32.82=16.4s = \dfrac{ o }{ 2 } = \dfrac{ 32.8 }{ 2 } = 16.4

7. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=16.4(16.47)(16.410.71)(16.415.09) S=1151.84=33.94S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 16.4(16.4-7)(16.4-10.71)(16.4-15.09) } \ \\ S = \sqrt{ 1151.84 } = 33.94

8. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=ava2  va=2 Sa=2 33.947=9.7 vb=2 Sb=2 33.9410.71=6.34 vc=2 Sc=2 33.9415.09=4.5S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 33.94 }{ 7 } = 9.7 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 33.94 }{ 10.71 } = 6.34 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 33.94 }{ 15.09 } = 4.5

9. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(b2+c2a22bc)=arccos(10.712+15.092722 10.71 15.09)=244958"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(a2+c2b22ac)=arccos(72+15.09210.7122 7 15.09)=40 γ=180αβ=180244958"40=115102"a^2 = b^2+c^2 - 2bc \cos α \ \\ \ \\ α = \arccos(\dfrac{ b^2+c^2-a^2 }{ 2bc } ) = \arccos(\dfrac{ 10.71^2+15.09^2-7^2 }{ 2 \cdot \ 10.71 \cdot \ 15.09 } ) = 24^\circ 49'58" \ \\ \ \\ b^2 = a^2+c^2 - 2ac \cos β \ \\ β = \arccos(\dfrac{ a^2+c^2-b^2 }{ 2ac } ) = \arccos(\dfrac{ 7^2+15.09^2-10.71^2 }{ 2 \cdot \ 7 \cdot \ 15.09 } ) = 40^\circ \ \\ γ = 180^\circ - α - β = 180^\circ - 24^\circ 49'58" - 40^\circ = 115^\circ 10'2"

10. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=Ss=33.9416.4=2.07S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 33.94 }{ 16.4 } = 2.07

11. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=abc4 rs=7 10.71 15.094 2.069 16.4=8.33R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 7 \cdot \ 10.71 \cdot \ 15.09 }{ 4 \cdot \ 2.069 \cdot \ 16.4 } = 8.33

12. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=2b2+2c2a22=2 10.712+2 15.092722=12.607 tb=2c2+2a2b22=2 15.092+2 7210.7122=10.469 tc=2a2+2b2c22=2 72+2 10.71215.0922=5t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 10.71^2+2 \cdot \ 15.09^2 - 7^2 } }{ 2 } = 12.607 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 15.09^2+2 \cdot \ 7^2 - 10.71^2 } }{ 2 } = 10.469 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 7^2+2 \cdot \ 10.71^2 - 15.09^2 } }{ 2 } = 5

Vypočítať ďaľší trojuholník