Trojuholník SSU

Trojuholník má dve riešenia, strana c=293.11222965642 a c=13.30554806834

#1 Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 200
b = 190
c = 293,11222965642

Obsah trojuholníka: S = 18840,8955247823
Obvod trojuholníka: o = 683,11222965642
Semiperimeter (poloobvod): s = 341,55661482821

Uhol ∠ A = α = 42,58799653282° = 42°34'48″ = 0,74331605904 rad
Uhol ∠ B = β = 40° = 0,69881317008 rad
Uhol ∠ C = γ = 97,42200346718° = 97°25'12″ = 1.77003003624 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 188,40989524782
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 198,3255213135
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 128,55875219373

Ťažnica: t_a = 225,84881994583
Ťažnica: t_b = 232,23435229862
Ťažnica: t_c = 128,73295436204

Polomer vpísanej kružnice: r = 55,16219267947
Polomer opísanej kružnice: R = 147,79437635517

Súradnice vrcholov: A[293,11222965642; 0] B[0; 0] C[153,20988886238; 128,55875219373]
Ťažisko: T[148,7743728396; 42,85325073124]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[146,55661482821; -19,08664335459]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[151,55661482821; 55,16219267947]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 137,42200346718° = 137°25'12″ = 0,74331605904 rad
∠ B' = β' = 140° = 0,69881317008 rad
∠ C' = γ' = 82,58799653282° = 82°34'48″ = 1.77003003624 rad

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).

1. Kosínusová veta

a = 200 b = 190 β = 40 ° b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β 19 0^{2} = 20 0^{2} + c^{2} - 2 \cdot 200 \cdot c \cdot cos 40 ° c^{2} - 306, 418 c + 3900 = 0 p = 1; q = - 306, 418; r = 3900 D = q^{2} - 4 p r = 306, 41 8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3900 = 78291, 854213354 D > 0 c_{1, 2} = \frac{- q \pm D}{2 p} = \frac{3 0 6 , 4 2 \pm 7 8 2 9 1 , 8 5}{2} c_{1, 2} = 153, 208889 \pm 139, 903408 c_{1} = 293, 112296564 c_{2} = 13, 305480683 c > 0 c = 293, 11

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.

a = 200 b = 190 c = 293, 11

2. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 200 + 190 + 293, 11 = 683, 11

3. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 8 3 , 1 1}{2} = 341, 56

4. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 341, 56 (341, 56 - 200) (341, 56 - 190) (341, 56 - 293, 11) S = 354979333, 74 = 18840, 9

5. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 8 8 4 0 , 9}{2 0 0} = 188, 41 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 8 8 4 0 , 9}{1 9 0} = 198, 33 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 8 8 4 0 , 9}{2 9 3 , 1 1} = 128, 56

6. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 9 0 ^{2} + 2 9 3 , 1 1 ^{2} - 2 0 0 ^{2}}{2 \cdot 1 9 0 \cdot 2 9 3 , 1 1}) = 42 ° 3 4^{'} 48 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 0 0 ^{2} + 2 9 3 , 1 1 ^{2} - 1 9 0 ^{2}}{2 \cdot 2 0 0 \cdot 2 9 3 , 1 1}) = 40 ° γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 42 ° 3 4^{'} 48 " - 40 ° = 97 ° 2 5^{'} 12 "

7. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 8 8 4 0 , 9}{3 4 1 , 5 6} = 55, 16

8. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 0 0 \cdot 1 9 0 \cdot 2 9 3 , 1 1}{4 \cdot 5 5 , 1 6 2 \cdot 3 4 1 , 5 5 6} = 147, 79

9. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 0 ^{2} + 2 \cdot 2 9 3 , 1 1 ^{2} - 2 0 0 ^{2}}{2} = 225, 848 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 3 , 1 1 ^{2} + 2 \cdot 2 0 0 ^{2} - 1 9 0 ^{2}}{2} = 232, 234 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 0 ^{2} + 2 \cdot 1 9 0 ^{2} - 2 9 3 , 1 1 ^{2}}{2} = 128, 73

#2 Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 200
b = 190
c = 13,30554806834

Obsah trojuholníka: S = 855,26598124209
Obvod trojuholníka: o = 403,30554806834
Semiperimeter (poloobvod): s = 201,65327403417

Uhol ∠ A = α = 137,42200346718° = 137°25'12″ = 2,39884320632 rad
Uhol ∠ B = β = 40° = 0,69881317008 rad
Uhol ∠ C = γ = 2,58799653282° = 2°34'48″ = 0,04550288896 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 8,55325981242
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 9,00327348676
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 128,55875219373

Ťažnica: t_a = 90,21437345869
Ťažnica: t_b = 105,18332586874
Ťažnica: t_c = 194,95106118122

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,2411250632
Polomer opísanej kružnice: R = 147,79437635517

Súradnice vrcholov: A[13,30554806834; 0] B[0; 0] C[153,20988886238; 128,55875219373]
Ťažisko: T[55,50547897691; 42,85325073124]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,65327403417; 147,64439554832]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11,65327403417; 4,2411250632]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 42,58799653282° = 42°34'48″ = 2,39884320632 rad
∠ B' = β' = 140° = 0,69881317008 rad
∠ C' = γ' = 177,42200346718° = 177°25'12″ = 0,04550288896 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník